ژیروسکوپ MEMS و مدل‌سازی دینامیکی

مقدمه فصل سوم: ژیروسکوپ $\text{MEMS}$ و مدل‌سازی دینامیکی

ژیروسکوپ‌ها را می‌توان به حق، قلب تپنده هر سامانه ناوبری اینرسی، از جمله $\text{AHRS}$ ، نامید. این حسگرها یگانه ابزاری هستند که می‌توانند نرخ چرخش یک جسم را نسبت به فضای اینرسی اندازه‌گیری کنند؛ قابلیتی که کاملاً مستقل از میدان‌های گرانش یا مغناطیس عمل می‌کند [Titterton & Weston, 2004]. خروجی آن‌ها، یعنی بردار سرعت زاویه‌ای ( $\boldsymbol{\omega}$ )، ورودی اصلی معادلات سینماتیک کواترنیونی (فصل ۲) است که به‌طور پیوسته وضعیت (Attitude) جسم را در طول زمان پیش‌بینی می‌کند. در واقع، در غیاب اغتشاشات، ژیروسکوپ‌ها به سیستم‌های $\text{AHRS}$ اجازه می‌دهند تا دوران را با دقت بالا در کوتاه‌مدت ردیابی کنند.

با پیشرفت فناوری، ژیروسکوپ‌های مکانیکی جای خود را به ژیروسکوپ‌های $\text{MEMS}$ (Micro-Electro-Mechanical Systems) داده‌اند. این سنسورها که بر اساس اصول ارتعاشی و نیروی کوریولیس عمل می‌کنند، امکان مینیاتوری‌سازی، کاهش توان مصرفی و کاهش چشمگیر قیمت را فراهم آورده‌اند. این مزایا، $\text{AHRS}$ را به یک فناوری همه‌گیر تبدیل کرده است [Noureldin et al., 2013]. با این حال، ژیروسکوپ‌های $\text{MEMS}$ در مقایسه با ژیروسکوپ‌های گران قیمت ناوبری، دارای نویز و خطاهای رانشی ذاتی هستند که چالش اصلی در طراحی یک $\text{AHRS}$ با دقت بالا محسوب می‌شود.

این خطاهای ذاتی، از جمله بایاس (Bias) و رانش تصادفی زاویه‌ای ( $\text{ARW}$ )، در طول فرآیند انتگرال‌گیری انباشته می‌شوند و منجر به رشد خطای وضعیت می‌شوند [Groves, 2008]. از این رو، تمرکز اصلی این فصل، بر روی مدل‌سازی ریاضی و آماری این خطاها خواهد بود. یک فیلتر پیشرفته (مانند $\text{EKF}$ یا $\text{MEKF}$ ) نه تنها باید وضعیت (کواترنیون) را تخمین بزند، بلکه باید بتواند خطاهای سنسور (مانند بایاس) را نیز به‌صورت یک حالت آماری مدل کند و در هر گام زمانی، آن‌ها را تصحیح نماید [Tong et al., 2018].

در این فصل، ما ابتدا اصول فیزیکی و سازوکار اثر کوریولیس را بررسی می‌کنیم، سپس به سراغ مدل‌سازی دقیق خطاهای سنسور با استفاده از پارامترهای استاندارد تحقیقاتی (مانند $\sigma_v$ و $\sigma_u$ ) خواهیم رفت و در نهایت، روش‌های پیشرفته‌ای نظیر تحلیل واریانس آلن و ادغام مدل‌های هوشمندی چون زنجیره مارکوف را برای تطبیق نویز ژیروسکوپ و حفظ پایداری سیستم در محیط‌های متغیر عملی، تشریح خواهیم کرد [Kang et al., 2016]. این دانش، زیربنای اصلی فیلترینگ مؤثر و ساخت سامانه‌های $\text{AHRS}$ با دقت مهندسی را تشکیل می‌دهد.

۳.۱ اصول فیزیکی اثر کوریولیس و ساختار $\text{MEMS}$

۳.۱.۱ نیروی کوریولیس به عنوان مبنای اندازه‌گیری دورانی

ژیروسکوپ‌های $\text{MEMS}$ برخلاف ژیروسکوپ‌های مکانیکی سنتی که بر پایه حفظ ممنتوم زاویه‌ای عمل می‌کنند، اصول کار خود را بر اساس نیروی کوریولیس (Coriolis Force) بنا نهاده‌اند. نیروی کوریولیس یک نیروی اینرسی یا ظاهری است که بر جسمی که در یک قاب مرجع در حال چرخش حرکت می‌کند، وارد می‌شود. این نیرو عامل کلیدی در تبدیل حرکت دورانی به یک اندازه‌گیری خطی قابل سنس کردن توسط اجزای کوچک میکروالکترومکانیکی است.

هنگامی که یک جرم آزمایشی ( $m$ ) با سرعت خطی $\mathbf{v}$ در داخل یک چارچوب (سنسور) که با سرعت زاویه‌ای $\boldsymbol{\omega}$ می‌چرخد، حرکت می‌کند، نیروی کوریولیس ( $\mathbf{F}_c$ ) بر آن اعمال می‌شود. این نیرو همواره بر بردار سرعت حرکت جرم ( $\mathbf{v}$ ) و بردار سرعت زاویه‌ای چرخش ( $\boldsymbol{\omega}$ ) عمود است. اندازه نیروی کوریولیس از طریق رابطه برداری زیر تعریف می‌شود:

$\mathbf{F}_c = -2m (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v})$

این رابطه نشان می‌دهد که اندازه نیروی $\mathbf{F}_c$ به طور مستقیم با سرعت زاویه‌ای چرخش سنسور ( $\boldsymbol{\omega}$ ) متناسب است. بنابراین، اگر مهندسان بتوانند این نیروی کوچک را اندازه‌گیری کنند، قادر خواهند بود سرعت زاویه‌ای چرخش جسم را تعیین کنند. این اصل بنیادین، مبنای فیزیکی تمام ژیروسکوپ‌های ارتعاشی از جمله انواع $\text{MEMS}$ را تشکیل می‌دهد. در این سیستم‌ها، اندازه‌گیری نیروی $\mathbf{F}_c$ عملاً به اندازه‌گیری یک جابجایی یا ارتعاش در فرکانس و فاز مشخص تبدیل می‌شود.

۳.۱.۲ سازوکار ارتعاشی و ساختار $\text{MEMS}$

پیاده‌سازی اصل نیروی کوریولیس در ژیروسکوپ‌های $\text{MEMS}$ ، یک شاهکار مهندسی در مقیاس میکرو است. این سنسورها از یک ساختار سیلیکونی مینیاتوری موسوم به جرم آزمایشی (Proof Mass) استفاده می‌کنند که نقش جرم $m$ در معادله کوریولیس را ایفا می‌کند. سازوکار اندازه‌گیری در این سنسورها شامل دو فرآیند متوالی است:

۱. تحریک (Drive): با استفاده از عملگرهای الکترواستاتیک یا پیزوالکتریک، جرم آزمایشی وادار به نوسان در یک فرکانس ثابت و بالا (فرکانس تشدید) در جهت محور تحریک (Drive Axis) می‌شود. این ارتعاش، همان سرعت خطی $\mathbf{v}$ را فراهم می‌کند.

۲. سنجش (Sense): هنگامی که کل بسته سنسور حول محوری عمود بر محور تحریک می‌چرخد ( $\boldsymbol{\omega} \neq 0$ )، نیروی کوریولیس ( $\mathbf{F}_c$ ) جرم را مجبور به نوسان ثانویه در جهت عمود بر محور تحریک (در راستای محور سنجش – Sense Axis) می‌کند. این جابجایی ثانویه، متناسب با سرعت زاویه‌ای $\boldsymbol{\omega}$ است.

این جابجایی بسیار کوچک، معمولاً با استفاده از تغییر ظرفیت خازنی (Capacitance Change) اندازه‌گیری می‌شود. الکترودهای ثابت در کنار جرم آزمایشی قرار می‌گیرند؛ با جابجایی جرم در اثر نیروی کوریولیس، فاصله بین جرم و الکترودها تغییر می‌کند و ظرفیت خازنی ایجاد شده، متناسب با سرعت زاویه‌ای $\boldsymbol{\omega}$ ، سیگنال خروجی نهایی ژیروسکوپ را تولید می‌کند. این ساختار ریزمقیاس و ارتعاشی، اگرچه امکان تولید انبوه را فراهم می‌کند، اما آن را به نویزهای حرارتی، لرزش و ناپایداری‌های ذاتی بسیار حساس می‌سازد که نیاز به مدل‌سازی خطا (مباحث فصول بعدی) را توجیه می‌کند.

۳.۲.۱ تعریف و طبقه‌بندی خطاهای اندازه‌گیری ژیروسکوپ

خروجی اندازه‌گیری شده توسط ژیروسکوپ‌های $\text{MEMS}$ ( $\boldsymbol{\omega}_{\text{measured}}$ )، به ندرت با سرعت زاویه‌ای واقعی جسم ( $\boldsymbol{\omega}_{\text{true}}$ ) مطابقت دارد. این تفاوت ناشی از وجود خطاهای سیستماتیک (Systematic Errors) و خطاهای تصادفی (Random Errors) است که برای تضمین دقت $\text{AHRS}$ باید مدل‌سازی شوند [Noureldin et al., 2013]. مدل‌سازی جامع خطای ژیروسکوپ برای سامانه‌های ناوبری اینرسی تسمه‌ای ( $\text{SINS}$ ) به شرح زیر است:

$\boldsymbol{\omega}_{\text{measured}} = \mathbf{K} \boldsymbol{\omega}_{\text{true}} + \mathbf{b} + \boldsymbol{\eta}_v$

در این معادله، $\mathbf{K}$ ماتریس حساسیت مقیاس (Scale Factor) و ناهماهنگی محورها (Misalignment) را نمایش می‌دهد که خطاهای سیستماتیک وابسته به اندازه‌گیری هستند. $\mathbf{b}$ بایاس (Bias) نام دارد که یک خطای سیستماتیک مستقل از اندازه‌گیری است، و $\boldsymbol{\eta}_v$ نویز سفید است که جزء اصلی خطای تصادفی را تشکیل می‌دهد [Groves, 2008].

۳.۲.۲ خطای بایاس ( $\text{Bias}$ ) و مفهوم $\text{Bias Instability}$

بایاس ( $\mathbf{b}$ )، یا خطای آفست، خروجی نامطلوب ژیروسکوپ در حالتی است که سنسور کاملاً ثابت و بدون چرخش است ( $\boldsymbol{\omega}_{\text{true}} = 0$ ). بایاس مستقیماً به وضعیت خروجی تبدیل می‌شود و در طول زمان به طور مداوم خطا ایجاد می‌کند. این خطا به طور سنتی به دو بخش تقسیم می‌شود:

بایاس ثابت ( $\mathbf{b}_{\text{fixed}}$ ): بخشی که در طول زمان و شرایط محیطی ثابت می‌ماند و می‌تواند با فرآیندهای کالیبراسیون ساده (اندازه‌گیری در حالت سکون) و کسر نرم‌افزاری حذف شود.
بایاس رانشی ( $\mathbf{b}_{\text{drift}}$ ): بخش متغیر بایاس که تحت تأثیر عوامل محیطی مانند دما (Temperature) و گذر زمان قرار دارد. این خطا به دلیل ماهیت دینامیکی‌اش نمی‌تواند به سادگی کسر شود و باید توسط فیلترهای حالت (مانند $\text{EKF}$ ) به عنوان یک حالت متغیر در زمان مدل‌سازی و تخمین زده شود [Titterton & Weston, 2004].

ناپایداری بایاس ( $\text{Bias Instability}$ )، معیار سنجش میزان تغییرات این بایاس رانشی در طول یک دوره زمانی مشخص است و معمولاً به صورت یک فرآیند $\text{Random Walk}$ یا فرآیند $\text{Markov}$ مرتبه اول مدل می‌شود.

۳.۲.۳ $\text{ARW}$ (Angular Random Walk) و نویز سفید

خطای تصادفی در ژیروسکوپ‌ها به عنوان نویز الکترونیکی، نویز حرارتی و فرآیندهای تصادفی غیرقابل پیش‌بینی در سازوکار ارتعاشی $\text{MEMS}$ رخ می‌دهد. مهم‌ترین جزء این خطا، نویز سفید گوسی ( $\boldsymbol{\eta}_v$ ) است که مستقیماً بر اندازه‌گیری سرعت زاویه‌ای تأثیر می‌گذارد.

$\text{ARW}$ (Angular Random Walk – رانش تصادفی زاویه‌ای) نتیجه انتگرال‌گیری از این نویز سفید بر حسب زمان است. به این صورت که خطای سرعت زاویه‌ای ( $\boldsymbol{\eta}_v$ ) به مرور زمان در اندازه‌گیری زاویه ( $\Delta \theta$ ) انباشته می‌شود [Noureldin et al., 2013]. این خطا با گذشت زمان بدون محدودیت رشد می‌کند و از طریق رابطه زیر به صورت آماری توصیف می‌شود:

$\text{Error Variance } \propto \sigma_v^2 t$

که در آن $\sigma_v^2$ چگالی طیفی توان ( $\text{PSD}$ ) نویز سفید است. این خطا، برخلاف بایاس، از طریق کالیبراسیون قابل حذف نیست و تنها با استفاده از روش‌های فیلترینگ مانند فیلتر کالمن (با استفاده از داده‌های تصحیحی شتاب‌سنج و مغناطیس‌سنج) می‌توان رشد آن را مهار کرد و محدود ساخت. مدل‌سازی دقیق این فرآیندها، همانطور که در زیرفصل‌های بعدی بررسی می‌شود، برای تعریف ماتریس‌های کوواریانس فیلتر کالمن بسیار ضروری است.

۳.۳ مدل نویز سفید گوسی و پارامترهای سیگما وی و سیگما یو

۳.۳.۱ فرآیندهای نویز تصادفی و چگالی طیفی توان ( $\text{PSD}$ )

مدل‌سازی دقیق نویز تصادفی ( $\text{Random Noise}$ ) در ژیروسکوپ‌ها برای تعیین ماتریس‌های کوواریانس نویز فرآیند ( $\mathbf{Q}$ ) در فیلتر کالمن، که نقش تعیین‌کننده‌ای در عملکرد و پایداری $\text{EKF}$ دارد، حیاتی است. خطاهای تصادفی در ژیروسکوپ به طور کلی از دو فرآیند اصلی تشکیل می‌شوند که هر دو با استفاده از مفهوم نویز سفید گوسی ( $\text{Gaussian White Noise}$ ) مدل‌سازی می‌شوند [Groves, 2008]. نویز سفید به نویزی اطلاق می‌شود که چگالی طیفی توان ( $\text{PSD}$ ) آن در کل طیف فرکانسی ثابت باشد و نمونه‌های آن از توزیع نرمال (گوسی) پیروی کنند.

مدل خطای ژیروسکوپ در زمان پیوسته که در زیرفصل ۳.۲ معرفی شد، شامل دو منبع اصلی نویز است:

نویز اندازه‌گیری سرعت زاویه‌ای ( $\boldsymbol{\eta}_v$ ): که مستقیماً بر خروجی اندازه‌گیری تأثیر می‌گذارد و منجر به رانش تصادفی زاویه‌ای ( $\text{ARW}$ ) می‌شود.
نویز رانش بایاس ( $\boldsymbol{\eta}_u$ ): که به نرخ تغییر بایاس رانشی ( $\mathbf{b}$ ) وارد می‌شود و منجر به رانش تصادفی نرخ (Rate Random Walk) می‌شود.

هر دوی این فرآیندها به عنوان نویز سفید، با استفاده از پارامترهای آماری متناظر خود مدل‌سازی می‌شوند.

۳.۳.۲ پارامتر $\sigma_v$ (رانش تصادفی زاویه‌ای – $\text{ARW}$ )

$\text{ARW}$ یا رانش تصادفی زاویه‌ای، همانطور که در زیرفصل ۳.۲ ذکر شد، نتیجه انتگرال‌گیری از نویز سفید موجود در خروجی سرعت زاویه‌ای ( $\boldsymbol{\omega}$ ) است. این پارامتر، نشان‌دهنده چگالی طیفی توان نویز اندازه‌گیری $\boldsymbol{\eta}_v$ است و معمولاً با $\sigma_v$ (که در برخی منابع با $N$ نیز نشان داده می‌شود) نمایش داده می‌شود.

مدل نویز: $\boldsymbol{\eta}_v$ یک فرآیند نویز سفید گوسی با میانگین صفر و چگالی طیفی توان زیر است:
$E[\boldsymbol{\eta}_v(t) \boldsymbol{\eta}_v^T(\tau)] = \sigma_v^2 \mathbf{I} \delta(t-\tau)$
که $\delta(\cdot)$ تابع ضربه دیراک است.
واحدهای فیزیکی: $\sigma_v$ یا $N$ ، واحد $\text{rad}/\sqrt{\text{s}}$ یا $\text{deg}/\sqrt{\text{hr}}$ دارد.
تأثیر بر $\mathbf{Q}$ : نویز $\boldsymbol{\eta}_v$ به دلیل تأثیر مستقیم بر اندازه‌گیری و در نتیجه بر معادله سینماتیک وضعیت (کواترنیون)، در بخش مربوط به خطای زاویه‌ای ( $\delta\boldsymbol{\alpha}$ ) در ماتریس کوواریانس نویز فرآیند ( $\mathbf{Q}$ ) ظاهر می‌شود. این جزء، نشان‌دهنده عدم قطعیت در به‌روزرسانی وضعیت در طول گام پیش‌بینی است [Noureldin et al., 2013].

۳.۳.۳ پارامتر $\sigma_u$ (رانش تصادفی نرخ – $\text{RRW}$ )

رانش تصادفی نرخ ( $\text{Rate Random Walk}$ یا $\text{RRW}$ ) توصیف‌کننده دینامیک نویز تصادفی است که بر نرخ تغییرات بایاس ( $\dot{\mathbf{b}}$ ) اعمال می‌شود. این فرآیند رانشی بایاس است که باعث می‌شود بایاس در طول زمان به صورت تصادفی تغییر کند و عامل اصلی ناپایداری در دقت بلندمدت سیستم است. این فرآیند با استفاده از نویز سفید $\boldsymbol{\eta}_u$ با چگالی طیفی توان $\sigma_u$ مدل می‌شود:

مدل نویز: $\boldsymbol{\eta}_u$ یک فرآیند نویز سفید گوسی است که نرخ تغییر بایاس را تحریک می‌کند:
$\dot{\mathbf{b}} = \boldsymbol{\eta}_u$
و چگالی طیفی توان آن به صورت زیر است:
$E[\boldsymbol{\eta}_u(t) \boldsymbol{\eta}_u^T(\tau)] = \sigma_u^2 \mathbf{I} \delta(t-\tau)$
واحدهای فیزیکی: $\sigma_u$ یا $K$ (ضریب $\text{RRW}$ ) واحد $\text{rad}/\text{s}/\sqrt{\text{s}}$ یا $\text{deg}/\text{hr}/\sqrt{\text{hr}}$ دارد.
تأثیر بر $\mathbf{Q}$ : نویز $\boldsymbol{\eta}_u$ مستقیماً به بخش مربوط به خطای بایاس ( $\delta\mathbf{b}$ ) در ماتریس کوواریانس نویز فرآیند ( $\mathbf{Q}$ ) وارد می‌شود و نشان می‌دهد که بایاس با چه سرعتی می‌تواند در طول گام پیش‌بینی از تخمین فعلی منحرف شود [Titterton & Weston, 2004].

۳.۳.۴ محاسبه ماتریس کوواریانس نویز فرآیند در زمان گسسته

در $\text{EKF}$ (که یک سیستم زمان گسسته است)، ماتریس کوواریانس نویز فرآیند گسسته ( $\mathbf{Q}_k$ ) باید از روی پارامترهای چگالی طیفی توان زمان پیوسته ( $\sigma_v^2$ و $\sigma_u^2$ ) و با توجه به زمان نمونه‌برداری ( $\Delta t$ ) محاسبه شود. برای یک $\text{AHRS}$ که بردار حالت خطا آن $\delta\mathbf{x} = [\delta\boldsymbol{\alpha}^T, \delta\mathbf{b}^T]^T$ است، ماتریس $\mathbf{Q}_k$ به صورت بلوکی به دست می‌آید:

$\mathbf{Q}_k \approx \begin{bmatrix} \mathbf{Q}_{\alpha\alpha} & \mathbf{Q}_{\alpha b} \\ \mathbf{Q}_{b\alpha} & \mathbf{Q}_{bb} \end{bmatrix}$

که در آن، با فرض اینکه خطاهای بایاس و زاویه‌ای در زمان گسسته نامرتبط هستند ( $\mathbf{Q}_{\alpha b} = \mathbf{Q}_{b\alpha} = \mathbf{0}$ ):

بخش $\text{ARW}$ (خطای زاویه‌ای):
$\mathbf{Q}_{\alpha\alpha} \approx \sigma_v^2 \mathbf{I} \Delta t$
بخش $\text{RRW}$ (خطای بایاس):
$\mathbf{Q}_{bb} \approx \sigma_u^2 \mathbf{I} \Delta t$

این روابط تقریبی مرتبه اول نشان می‌دهند که چگونه خطای انباشته شده (واریانس) در طول بازه زمانی $\Delta t$ مدل می‌شود. این پارامترها ( $\sigma_v$ و $\sigma_u$ ) به صورت تجربی از طریق تحلیل واریانس آلن (که در زیرفصل ۳.۵ بررسی می‌شود) استخراج و تعیین می‌گردند و نقش مستقیم در تعادل بین اتکای فیلتر به مدل دینامیکی (پیش‌بینی) و اندازه‌گیری‌های حسگر کمکی (به‌روزرسانی) دارند.

۳.۴ مدل حالت $\text{Gyro}$ در فضای حالت ( $\text{State-Space Model}$ )

۳.۴.۱ تعریف بردار حالت خطا و دینامیک سیستم

مدل‌سازی خطاهای سنسورهای $\text{AHRS}$ برای کاربرد در فیلتر کالمن توسعه‌یافته ( $\text{EKF}$ )، مستلزم تعریف سیستم در قالب فضای حالت ( $\text{State-Space}$ ) است [Groves, 2008]. این مدل، یک ساختار ریاضی فراهم می‌کند که چگونگی تکامل متغیرهای حالت سیستم را در طول زمان توصیف می‌نماید. از آنجایی که دینامیک کواترنیون‌ها بسیار غیرخطی است، در سیستم‌های ناوبری اینرسی معمولاً به‌جای تخمین خود وضعیت ( $\mathbf{q}$ )، بردار حالت خطا ( $\delta\mathbf{x}$ ) تخمین زده می‌شود. این رویکرد، پایداری و دقت خطی‌سازی فیلتر را بهبود می‌بخشد.

برای یک سیستم $\text{AHRS}$ که از ساختار $\text{MEKF}$ (زیرفصل ۲.۵) استفاده می‌کند، بردار حالت خطا معمولاً به صورت ترکیب خطای وضعیت و خطای بایاس ژیروسکوپ ( $\delta\mathbf{b}$ ) تعریف می‌شود:

$\delta\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \delta\boldsymbol{\alpha} \\ \delta\mathbf{b} \end{bmatrix}$

که در آن $\delta\boldsymbol{\alpha}$ بردار خطای زاویه‌ای سه‌بُعدی (معادل با $\delta\boldsymbol{\alpha}$ در کواترنیون ضربی) و $\delta\mathbf{b}$ خطای بایاس ژیروسکوپ در سه محور است. مدل دینامیکی سیستم در فضای حالت پیوسته به صورت زیر تعریف می‌شود:

$\delta\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{F}(t)\delta\mathbf{x}(t) + \mathbf{G}(t)\boldsymbol{\eta}(t)$

که در آن $\mathbf{F}$ ماتریس دینامیک سیستم و $\mathbf{G}$ ماتریس توزیع نویز است.

۳.۴.۲ مدل‌سازی بایاس به عنوان متغیر حالت و فرآیند $\text{Random Walk}$

حیاتی‌ترین جزء مدل حالت، نحوه مدل‌سازی خطای بایاس ژیروسکوپ ( $\delta\mathbf{b}$ ) است. همان‌طور که در زیرفصل ۳.۲ تشریح شد، بایاس رانشی به صورت یک فرآیند $\text{Random Walk}$ مدل می‌شود. این مدل فرض می‌کند که تغییرات بایاس ( $\delta\dot{\mathbf{b}}$ ) صرفاً توسط یک نویز سفید مجزا ( $\boldsymbol{\eta}_u$ ) هدایت می‌شود، که نشان‌دهنده ناپایداری‌های تصادفی سنسور در طول زمان است:

$\delta\dot{\mathbf{b}}(t) = \boldsymbol{\eta}_u(t)$

این مدل، یک ردیف از ماتریس دینامیک $\mathbf{F}$ را به صفر تبدیل می‌کند (زیرا بایاس به خود حالت بایاس وابسته نیست، بلکه فقط به نویز $\boldsymbol{\eta}_u$ وابسته است). مدل حالت $\text{Gyro}$ به صورت زیر در ساختار کلی $\mathbf{F}$ گنجانده می‌شود:

$\mathbf{F} = \begin{bmatrix} \mathbf{F}_{\alpha\alpha} & \mathbf{F}_{\alpha b} \\ \mathbf{0} & \mathbf{F}_{bb} \end{bmatrix}$

که در مدل $\text{Random Walk}$ ، بلوک $\mathbf{F}_{bb}$ به دلیل عدم وابستگی بایاس به زمان و تنها وابستگی به نویز، به یک ماتریس صفر تبدیل می‌شود. این ساختار تضمین می‌کند که فیلتر کالمن خطای بایاس را به عنوان یک متغیر کاملاً تصادفی و ناپایدار که نیاز به تصحیح پیوسته دارد، در نظر بگیرد.

۳.۴.۳ گسسته‌سازی مدل و ماتریس انتقال حالت ( $\mathbf{\Phi}$ )

برای پیاده‌سازی در یک کامپیوتر دیجیتال، مدل دینامیک زمان پیوسته باید به یک مدل زمان گسسته تبدیل شود. این تبدیل از طریق انتگرال‌گیری ماتریس $\mathbf{F}$ در طول بازه نمونه‌برداری ( $\Delta t$ ) انجام می‌گیرد و نتیجه آن ماتریس انتقال حالت ( $\mathbf{\Phi}_k$ ) است:

$\delta\mathbf{x}_k = \mathbf{\Phi}_{k-1} \delta\mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{w}_{k-1}$

که در آن $\mathbf{w}$ نویز فرآیند گسسته است. ماتریس $\mathbf{\Phi}_k$ نشان می‌دهد که چگونه خطاهای قبلی (مانند بایاس) به خطاهای وضعیت فعلی تبدیل و منتقل می‌شوند. این ماتریس برای یک گام زمانی کوچک ( $\Delta t$ ) معمولاً با استفاده از تقریب مرتبه اول محاسبه می‌شود:

$\mathbf{\Phi}_k \approx \mathbf{I} + \mathbf{F}_k \Delta t$

دقت در تعریف این ماتریس $\mathbf{\Phi}_k$ و همچنین مدل‌سازی صحیح نویز فرآیند ( $\mathbf{Q}_k$ ) که از پارامترهای $\sigma_v$ و $\sigma_u$ (زیرفصل ۳.۳) به دست می‌آید، سنگ بنای عملیات پیش‌بینی خطا در فیلتر کالمن است [Braasch, 2024]. مدل‌سازی نادرست در این مرحله، مستقیماً منجر به واگرایی (Divergence) فیلتر یا خطای تخمین غیرقابل قبول در $\text{AHRS}$ می‌شود.

۳.۵ روش‌های کالیبراسیون و تحلیل آماری (Allan Variance)

۳.۵.۱ اهمیت کالیبراسیون و حذف خطاهای سیستماتیک ژیروسکوپ

قبل از اینکه داده‌های ژیروسکوپ وارد الگوریتم‌های پیچیده فیلترینگ (مانند $\text{EKF}$ ) شوند، باید تمامی خطاهای سیستماتیک (Systematic Errors) که قابل مدل‌سازی و حذف هستند، تصحیح گردند. کالیبراسیون فرآیندی است که یک ژیروسکوپ را از حالت یک سنسور خام به یک ابزار اندازه‌گیری دقیق و قابل اعتماد تبدیل می‌کند [Titterton & Weston, 2004]. اگر این خطاهای سیستماتیک حذف نشوند، آن‌ها به صورت مستقیم و دائمی در بردار حالت بایاس یا وضعیت در $\text{EKF}$ ، خطا ایجاد کرده و باعث واگرایی (Divergence) فیلتر می‌شوند.

خطاهای سیستماتیک اصلی ژیروسکوپ که از طریق کالیبراسیون تصحیح می‌شوند، شامل موارد زیر است:

بایاس ثابت ( $\text{Fixed Bias}$ ): مقدار آفست خروجی در حالت سکون. این مقدار میانگین خروجی در یک دوره استاتیک است و به سادگی از اندازه‌گیری‌های خام کسر می‌شود.
فاکتور مقیاس ( $\text{Scale Factor}$ ): خطای غیرایده‌آل بودن نسبت تبدیل بین ورودی زاویه‌ای واقعی و سیگنال خروجی دیجیتال. این خطا باعث می‌شود که اندازه‌گیری‌های بزرگتر، خطای بیشتری داشته باشند.
ناهماهنگی محورها ( $\text{Misalignment}$ ): خطای ناشی از عمود نبودن کامل محورهای فیزیکی سنسورها (X, Y, Z) نسبت به یکدیگر.

برای حذف فاکتور مقیاس و ناهماهنگی، معمولاً از روش‌های چندموقعیتی (Multi-Position Tests) مانند آزمون‌های شش یا دوازده نقطه‌ای استفاده می‌شود. در این آزمون‌ها، سنسور به صورت استاتیک در جهات مختلف قرار می‌گیرد تا مولفه‌های بردار گرانش ( $\mathbf{g}$ ) و سرعت زاویه‌ای صفر، برای ساخت یک ماتریس کالیبراسیون ( $\mathbf{K}_{\text{cal}}$ ) مورد استفاده قرار گیرند. خروجی تصحیح‌شده ( $\boldsymbol{\omega}_{\text{corr}}$ ) پس از کالیبراسیون به صورت یک تابع خطی از اندازه‌گیری خام ( $\boldsymbol{\omega}_{\text{raw}}$ ) به دست می‌آید:

$\boldsymbol{\omega}_{\text{corr}} = \mathbf{K}_{\text{cal}} (\boldsymbol{\omega}_{\text{raw}} - \mathbf{b}_{\text{cal}})$

۳.۵.۲ تحلیل واریانس آلن (Allan Variance) برای جداسازی منابع نویز

پس از کالیبراسیون سیستماتیک، خطای باقی‌مانده عمدتاً شامل خطاهای تصادفی است که باید به‌صورت آماری مدل شوند تا ماتریس $\mathbf{Q}$ فیلتر کالمن ساخته شود. تحلیل واریانس آلن ( $\text{Allan Variance}$ ) روش طلایی در صنعت ناوبری برای شناسایی و کمی‌سازی اجزای مختلف نویز تصادفی ژیروسکوپ است [Groves, 2008].

این روش با تجزیه یک سری زمانی طولانی از داده‌های خروجی ژیروسکوپ در حالت سکون، امکان جداسازی تأثیرات فرآیندهای نویز مختلف را بر اساس فرکانس یا بازه زمانی میانگین‌گیری ( $\tau$ ) فراهم می‌آورد. برای انجام این تحلیل:

داده‌برداری: ژیروسکوپ برای مدت زمان طولانی (به عنوان مثال، ۱۰ تا ۱۲ ساعت) در حالت سکون قرار گرفته و داده‌ها با نرخ بالا ثبت می‌شوند.
محاسبه واریانس: داده‌های خام به بلوک‌های متوالی با طول‌های مختلف ( $\tau_k$ ) تقسیم می‌شوند و واریانس اختلاف بین میانگین‌های بلوک‌های متوالی محاسبه می‌گردد. واریانس آلن به صورت زیر تعریف می‌شود:
$\sigma^2(\tau) = \frac{1}{2\tau^2} E[(\Delta\theta_{k+1} - \Delta\theta_k)^2]$
که در آن $\Delta\theta_k$ تغییرات زاویه‌ای انباشته در بازه زمانی $\tau$ است.

۳.۵.۳ استخراج پارامترهای مدل $\sigma_v$ و $\sigma_u$ از نمودار لگاریتمی-لگاریتمی

نمودار واریانس آلن ( $\log(\sigma(\tau))$ در برابر $\log(\tau)$ ) ابزار بصری اصلی برای استخراج پارامترهای کلیدی نویز است. هر فرآیند نویز تصادفی در این نمودار با یک شیب مشخص ظاهر می‌شود [Noureldin et al., 2013]:

رانش تصادفی زاویه‌ای ( $\text{ARW}$ ) و $\sigma_v$ :
- محل شناسایی: در بازه‌های زمانی کوتاه ( $\tau$ های کوچک).
- شیب نمودار: $-1/2$ .
- استخراج پارامتر: مقدار $\sigma_v$ (چگالی طیفی توان نویز سفید) در تقاطع خط شیب $-1/2$ با محور $\tau = 1 \text{ ثانیه}$ به دست می‌آید. این پارامتر، مستقیماً برای تعریف جزء نویز زاویه‌ای در ماتریس $\mathbf{Q}$ استفاده می‌شود:
  $\sigma_{\text{ARW}}(\tau) = \frac{\sigma_v}{\sqrt{\tau}}$
ناپایداری بایاس ( $\text{Bias Instability}$ ) و $\sigma_u$ :
- محل شناسایی: در ناحیه میانی نمودار، جایی که شیب تقریباً صفر است.
- استخراج پارامتر: این مقدار نشان‌دهنده کمترین دقت ژیروسکوپ است و به دلیل پدیده‌های فیزیکی مانند نویز $1/f$ و ناپایداری‌های الکترونیکی رخ می‌دهد. مقدار آن مستقیماً در تعیین پارامترهای $\sigma_u$ (نویز $\text{Rate Random Walk}$ ) برای مدل‌سازی بایاس رانشی در $\text{EKF}$ به کار می‌رود.

استخراج دقیق این پارامترها از تحلیل واریانس آلن به مهندس این امکان را می‌دهد که ماتریس‌های $\mathbf{Q}$ و $\mathbf{R}$ فیلتر کالمن را به‌طور صحیح و منطبق با واقعیت‌های فیزیکی سنسورهای $\text{MEMS}$ تعریف کند، که این امر پایداری و همگرایی الگوریتم‌های $\text{AHRS}$ را تضمین می‌نماید.

۳.۶ ترکیب مدل خطا با فیلتر EKF و MEKF

۳.۶.۱ هدف از ترکیب مدل خطای ژیروسکوپ در فضای حالت

هدف نهایی از مدل‌سازی دقیق خطاهای ژیروسکوپ (Bias,ARW,Bias Instability) که در زیرفصل‌های ۳.۲ تا ۳.۵ تشریح شد، آماده‌سازی این مدل برای ادغام در فیلتر کالمن توسعه‌یافته (EKF) است [Groves, 2008]. همانطور که در زیرفصل ۳.۴ بحث شد، EKF نه تنها وضعیت (کواترنیون) را تخمین می‌زند، بلکه خطای سیستم (Error State)، شامل خطای زاویه‌ای (δα) و خطای بایاس ژیروسکوپ (δb) را نیز به‌طور هم‌زمان تخمین می‌زند.

ترکیب این مدل‌ها به دو دلیل اصلی در ساختار EKF حیاتی است:

حذف رانش بلندمدت: با تخمین و کسر δb به‌صورت بلادرنگ، فیلتر می‌تواند رانش بایاس ژیروسکوپ را مهار کند و از انباشت خطای وضعیت در طول زمان جلوگیری نماید [Noureldin et al., 2013].
مدل‌سازی عدم قطعیت: پارامترهای نویز σv و σu، ماتریس کوواریانس نویز فرآیند (Q) را تعریف می‌کنند که نشان‌دهنده اعتماد فیلتر به مدل دینامیکی خود در برابر نویز سنسور است. این امر پایداری و همگرایی فیلتر را تضمین می‌کند.

مدل خطای ژیروسکوپ، به‌صورت یک نیروی محرک نویز (Noise Driving Term) در معادلات دینامیک خطای EKF اعمال می‌شود.

۳.۶.۲ ساختار ماتریس دینامیک خطای سیستم (F) و کوواریانس نویز فرآیند (Q)

برای یک AHRS که از بردار حالت خطای سه‌بُعدی وضعیت (δα) و بایاس ژیروسکوپ (δb) استفاده می‌کند، ماتریس دینامیک سیستم (F) در فضای پیوسته دارای ساختار بلوکی زیر است:

F=[FααFbαFαbFbb]

در این ماتریس، مؤلفه‌ها به شرح زیر مدل می‌شوند:

Fαb (تأثیر بایاس بر خطای وضعیت): خطای بایاس مستقیماً به خطای زاویه‌ای افزوده می‌شود (زیرا b همانند سرعت زاویه‌ای اندازه‌گیری می‌شود). بنابراین، Fαb=−I (ماتریس یکه منفی).
Fbb (دینامیک بایاس): با فرض مدل Random Walk برای بایاس، تغییرات بایاس تنها ناشی از نویز است، بنابراین Fbb=0.
Fαα (تأثیر چرخش بر خطای وضعیت): این بلوک نشان می‌دهد که خطاهای زاویه‌ای چگونه تحت تأثیر سرعت زاویه‌ای واقعی سیستم (ω) قرار می‌گیرند.

ماتریس کوواریانس نویز فرآیند (Q): این ماتریس نیز به صورت بلوکی و بر اساس پارامترهای σv و σu تعریف می‌شود [Braasch, 2024]. در EKF، این ماتریس به صورت جمعی از سهم ARW و سهم Bias Random Walk ساخته می‌شود:

Qk≈[σv2IΔt00σu2IΔt]

این ساختار، عدم قطعیت ناشی از نویز تصادفی ژیروسکوپ را در هر گام زمانی به فرآیند تخمین خطا وارد می‌کند.

۳.۶.۳ مزیت MEKF در ترکیب با مدل خطا

همانطور که در زیرفصل ۲.۵ مورد بررسی قرار گرفت، ساختار فیلتر کالمن توسعه‌یافته ضربی (MEKF) برای مدل‌سازی خطا ترجیح داده می‌شود. MEKF از نمایش خطای ضربی کواترنیونی (qerror=qtrue⊗q^−1) استفاده می‌کند، که منجر به تخمین یک بردار خطای زاویه‌ای سه‌بُعدی (δα) می‌شود.

در MEKF، مدل خطای ژیروسکوپ (δb) به همان شیوه بالا مدل‌سازی می‌شود، اما خطای وضعیت (δα) به جای انتگرال‌گیری مستقیم، از طریق ضرب کواترنیونی در فاز به‌روزرسانی تصحیح می‌شود. این روش، پایداری عددی بیشتری دارد و تضمین می‌کند که کواترنیون وضعیت (q) به قید یکه خود پایبند بماند. پس از تخمین خطای بایاس (δb^) توسط MEKF، این مقدار از اندازه‌گیری خام ژیروسکوپ کسر می‌شود تا اندازه‌گیری ورودی به معادله سینماتیک در فاز پیش‌بینی، تصحیح شود:

ωcorrected=ωmeasured−δb^

این چرخه پیوسته تخمین خطا، کاهش نویز و تصحیح ورودی، هسته اصلی عملکرد یک AHRS دقیق را تشکیل می‌دهد و اجازه می‌دهد تا سیستم با وجود سنسورهای MEMS ارزان، خطای وضعیت را در بلندمدت محدود سازد.

۳.۷ نقش Markov Chain در تطبیق کوواریانس و تشخیص حالت دینامیکی

۳.۷.۱ محدودیت‌های ماتریس کوواریانس ثابت و لزوم فیلترینگ تطبیقی

اگرچه مدل‌سازی نویز ژیروسکوپ با استفاده از پارامترهای $\sigma_v$ و $\sigma_u$ (زیرفصل ۳.۳) برای تعریف ماتریس کوواریانس نویز فرآیند ( $\mathbf{Q}$ ) در فیلتر کالمن ضروری است، اما این مدل‌سازی بر اساس این فرض است که ویژگی‌های آماری نویز حسگرها در طول زمان ثابت می‌مانند. در عمل، این فرض برای سنسورهای $\text{MEMS}$ در محیط‌های عملی (مانند ناوبری رباتیک یا ردیابی حرکت انسان) نادرست است.

نویز و بایاس ژیروسکوپ ممکن است تحت تأثیر لرزش‌های خارجی، تغییرات دما یا مانورهای دینامیکی سیستم، تغییر کند. در چنین شرایطی، استفاده از یک ماتریس $\mathbf{Q}$ ثابت، منجر به عملکرد نامطلوب فیلتر می‌شود: اگر $\mathbf{Q}$ بزرگ انتخاب شود، فیلتر به مدل دینامیکی بیش از حد اعتماد کرده و خطای نویز را انباشته می‌کند؛ و اگر $\mathbf{Q}$ کوچک انتخاب شود، فیلتر به اندازه کافی انعطاف‌پذیر نیست که نویز لحظه‌ای سنسور را جبران کند. این مسئله، ضرورت توسعه فیلتر کالمن توسعه‌یافته سازگار ( $\text{AEKF}$ – Adaptive EKF) را ایجاب می‌کند. در ساختار $\text{AEKF}$ ، پارامترهای کلیدی فیلتر، مانند ماتریس‌های کوواریانس $\mathbf{Q}$ و $\mathbf{R}$ ، به‌صورت بلادرنگ و بر اساس پویایی سیستم، تنظیم می‌شوند.

۳.۷.۲ تشخیص حالت دینامیکی با زنجیره مارکوف ( $\text{Markov Chain}$ )

یکی از مؤثرترین روش‌ها برای دستیابی به سازگاری در $\text{EKF}$ ، استفاده از مدل‌های آماری برای تشخیص حالت دینامیکی (Dynamic State Recognition) سیستم است. زنجیره مارکوف ( $\text{Markov Chain}$ ) و نسخه پیشرفته‌تر آن، مدل پنهان مارکوف ( $\text{HMM}$ – Hidden Markov Model)، ابزارهایی ایده‌آل برای این منظور هستند. این مدل‌ها فضای عملیاتی سیستم را به چندین حالت محدود (Finite States) مانند “حالت سکون”، “حالت حرکت آهسته” و “حالت مانور شدید” تقسیم می‌کنند.

در این رویکرد، $\text{Markov Chain}$ توالی انتقال بین این حالات را مدل‌سازی می‌کند [Kang et al., 2016]. برای مثال، احتمال انتقال از “حالت سکون” به “حالت حرکت آهسته” را می‌توان محاسبه و در هر گام زمانی، سیستم را در محتمل‌ترین حالت خود قرار داد.

$\text{HMM}$ یک گام فراتر می‌رود و حالت‌های پنهان (مانند دینامیک واقعی نویز سنسور) را از طریق مشاهدات (مانند اندازه‌گیری‌های شتاب و سرعت زاویه‌ای) استخراج می‌کند [Tong et al., 2018]. مدل $\text{HMM}$ شامل:

۱. حالات پنهان (Hidden States): وضعیت‌های داخلی سیستم ( $\text{S}_1, \text{S}_2, \dots$ ) که مستقیماً قابل مشاهده نیستند (مثلاً بایاس بالا یا بایاس پایین).

۲. احتمال انتقال حالت (Transition Probability): احتمال تغییر از حالت $i$ به حالت $j$ .

۳. احتمال مشاهده (Observation Probability): احتمال مشاهده یک داده سنسوری معین در حالت خاص.

۳.۷.۳ سازوکار تطبیق ماتریس $\mathbf{Q}$ با استفاده از مدل مارکوف

پس از اینکه مدل $\text{Markov}$ یا $\text{HMM}$ ، حالت دینامیکی فعلی سیستم را شناسایی کرد، این اطلاعات مستقیماً برای تطبیق ماتریس $\mathbf{Q}$ (کوواریانس نویز فرآیند) در $\text{EKF}$ یا $\text{MEKF}$ استفاده می‌شود. در این روش، برای هر حالت شناسایی‌شده، یک ماتریس $\mathbf{Q}$ از پیش تعریف شده است ( $\mathbf{Q}_1, \mathbf{Q}_2, \dots$ ).

حالت سکون (Stationary): در این حالت، نویز و بایاس به حداقل می‌رسد. فیلتر به مدل دینامیکی ژیروسکوپ اعتماد بیشتری دارد و در نتیجه، ماتریس $\mathbf{Q}$ کوچک انتخاب می‌شود (مثلاً $\mathbf{Q} = \mathbf{Q}_{\text{low}}$ ). این کار باعث می‌شود انباشت نویز تصادفی کمتر شود.
حالت مانور شدید (High Dynamic): در این حالت، لرزش و نویز فرکانس بالای $\text{MEMS}$ افزایش می‌یابد. برای اینکه فیلتر به سرعت نسبت به تغییرات وضعیت پاسخ دهد، $\mathbf{Q}$ باید بزرگ انتخاب شود (مثلاً $\mathbf{Q} = \mathbf{Q}_{\text{high}}$ ). افزایش $\mathbf{Q}$ به فیلتر اجازه می‌دهد تا عدم قطعیت مدل دینامیکی را بالا ببرد و به داده‌های تصحیحی (از شتاب‌سنج و مغناطیس‌سنج) با انعطاف بیشتری پاسخ دهد [Kang et al., 2016].

این سازوکار هوشمند تطبیقی، به طور مؤثر، رانش ژیروسکوپ را در دوره‌های طولانی سکون یا حرکت ثابت مهار می‌کند و در عین حال، به سیستم اجازه می‌دهد تا در دوره‌های مانور سریع، به اندازه کافی چابک باقی بماند. این ترکیب مدل‌های آماری با فیلترینگ کلاسیک، یکی از مهم‌ترین پیشرفت‌ها در $\text{AHRS}$ با سنسورهای $\text{MEMS}$ محسوب می‌شود.

منابع

Groves, P. D. (2008). Principles of GNSS, Inertial, and Multisensor Integrated Navigation Systems.
Titterton, D. H., & Weston, J. L. (2004). Strapdown Inertial Navigation Technology (2nd ed.).
Noureldin, A., Karamat, T. B., & Georgy, J. (2013). Fundamentals of Inertial Navigation, Satellite-based Positioning and their Integration.
Kang, C. W., Kim, H. J., & Park, C. G. (2016). A Human Motion Tracking Algorithm Using Adaptive EKF Based on Markov Chain. IEEE Sensors Journal, 16(24), 8953–8960.
Tong, X., Li, Z., Han, G., et al. (2018). Adaptive EKF Based on HMM Recognizer for Attitude Estimation Using MEMS MARG Sensors. IEEE Sensors Journal, 18(8), 3299–3310.
Braasch, M. (2024). Fundamentals of Inertial Aiding. (IEEE AESS Virtual Distinguished Lecture).