مبانی فیزیکی اندازه‌گیری شتاب و مدل‌سازی شتاب خاص

۳.۲ مبانی فیزیکی کمیت شتاب (Physical Principles of Acceleration Measurement)

۳.۲.۱ تعریف شتاب خطی و زاویه‌ای (Linear and Angular Acceleration)

شتاب بیانگر نرخ تغییر سرعت نسبت به زمان است. شتاب خطی به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$

که در آن $\vec{a}$ بردار شتاب و $\vec{v}$ بردار سرعت لحظه‌ای است.
در مقابل، شتاب زاویه‌ای میزان تغییر سرعت زاویه‌ای حول یک محور دوران است و به‌صورت زیر نوشته می‌شود:
$\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}$

در سامانه‌های حرکتی، شتاب‌سنج سه محور شتاب خطی را اندازه‌گیری می‌کند و با داده‌های ژیروسکوپ (برای سرعت زاویه‌ای) ترکیب می‌شود تا وضعیت و حرکت سه‌بعدی محاسبه شود.

۳.۲.۲ قانون دوم نیوتن و رابطهٔ نیرو–جرم–شتاب

پایهٔ فیزیکی عملکرد شتاب‌سنج بر قانون دوم نیوتن استوار است:
$\vec{F} = m\vec{a}$

در یک شتاب‌سنج، جرم کوچکی (Proof Mass) درون محفظه قرار دارد. هنگامی‌که حسگر تحت شتاب قرار می‌گیرد، این جرم تمایل دارد موقعیت خود را حفظ کند، و در نتیجه جابجایی نسبی ایجاد می‌شود.
این جابجایی توسط ساختارهای مکانیکی (فنر و دمپر) یا الکترونیکی (خازنی، پیزورزیستیو، پیزوالکتریک) به سیگنال الکتریکی تبدیل می‌شود.
بنابراین، شتاب‌سنج در اصل مبدلی از نیرو به ولتاژ است و دقت آن به جرم مؤثر، ثابت فنر، و میرایی سیستم وابسته است.

۳.۲.۳ شتاب نسبی و مرجع‌های اینرسی و غیراينرسی

اندازه‌گیری شتاب همواره نسبت به یک دستگاه مرجع انجام می‌شود.
دو نوع مرجع اصلی وجود دارد:

مرجع اینرسی (Inertial Frame): چارچوبی که نسبت به فضا یا ستارگان ثابت فرض می‌شود.
مرجع غیراينرسی (Non-inertial Frame): چارچوبی که خود در حال چرخش یا حرکت است.

در سیستم‌های ناوبری، شتاب‌سنج‌ها در بدنه‌ی متحرک نصب می‌شوند و خروجی آن‌ها ترکیبی از شتاب واقعی، گرانش و شتاب‌های ظاهری است.
رابطه‌ی عمومی بین شتاب در مرجع اینرسی و شتاب در مرجع بدنه به صورت زیر بیان می‌شود:

$\vec{a}<em>{inertial} = \vec{a}</em>{body} + 2\vec{\omega}_e \times \vec{v} + \vec{\omega}_e \times (\vec{\omega}_e \times \vec{r})$

که در آن $\vec{\omega}_e$ سرعت زاویه‌ای زمین، $\vec{v}$ سرعت خطی و $\vec{r}$ بردار موقعیت است.
این معادله پایه‌ی اصلاح داده‌های شتاب‌سنج در ناوبری دقیق است.

۳.۲.۴ شتاب خاص (Specific Force) و ارتباط آن با معادلات ناوبری

خروجی شتاب‌سنج، شتاب مطلق جسم نیست، بلکه شتاب خاص (Specific Force) است که از رابطه‌ی زیر به‌دست می‌آید:
$\vec{f} = \vec{a} - \vec{g}$

در این رابطه $\vec{a}$ شتاب واقعی و $\vec{g}$ شتاب گرانش است.
در سامانه‌های ناوبری اینرسی (INS)، پس از حذف مؤلفه‌ی گرانش، با دو انتگرال زمانی از $\vec{f}$ سرعت و موقعیت به‌دست می‌آید:

$\vec{v}(t) = \int_{t_0}^{t} \vec{f}(\tau), d\tau , \qquad\vec{r}(t) = \int_{t_0}^{t} \vec{v}(\tau), d\tau$

هر خطای کوچک در اندازه‌گیری $\vec{f}$ سبب انباشت خطا در سرعت و موقعیت می‌شود؛ بنابراین پایداری بایاس (Bias Stability) و نویز پایین از الزامات حیاتی طراحی هستند.

۳.۲.۵ اثر گرانش و تفکیک شتاب استاتیکی و دینامیکی

شتاب کل اندازه‌گیری‌شده توسط حسگر از دو بخش تشکیل شده است:

شتاب استاتیکی: ناشی از گرانش زمین.
شتاب دینامیکی: ناشی از حرکت واقعی جسم.

رابطه‌ی کلی به‌صورت زیر نوشته می‌شود:
$\vec{a}<em>{meas} = \vec{a}</em>{dynamic} + \vec{g}_{static}$

در حالت سکون، خروجی شتاب‌سنج برابر با $g = 9.80665, \text{m/s}^2$ است.
در کاربردهایی مانند اندازه‌گیری زاویه‌ی شیب (Tilt Sensing) از مؤلفه‌ی گرانشی استفاده می‌شود، اما در ناوبری باید آن را از داده حذف کرد تا فقط شتاب واقعی باقی بماند. برای این منظور از مدل گرانش زمین (مانند WGS-84) استفاده می‌شود.

۳.۲.۶ واحدها و کمیت‌های فیزیکی (Units and Physical Quantities)

واحد استاندارد شتاب در سیستم SI، متر بر مجذور ثانیه $(\text{m/s}^2)$ است.
سایر واحدهای متداول عبارت‌اند از:

واحد نسبی: $1g = 9.80665, \text{m/s}^2$
واحد کوچک‌تر در ژئوفیزیک: $1, \text{mGal} = 10^{-5}, \text{m/s}^2$
واحد دیجیتال در حسگرهای MEMS: حساسیت بر حسب $LSB/g$

برای مثال، در یک شتاب‌سنج دیجیتال با رزولوشن ۱۶ بیتی و محدوده‌ی $\pm2g$ ، حساسیت برابر است با تقریباً $16384, LSB/g$ .
رابطه‌ی کلی بین تغییر ولتاژ خروجی و شتاب نیز به صورت زیر است:
$S = \frac{\Delta V_{out}}{\Delta a}$
که در آن $S$ حساسیت حسگر (بر حسب $mV/g$ یا $LSB/g$ ) است.

۳.۲.۷ محدوده‌های کاری، حساسیت و باند فرکانسی

محدوده‌ی کاری (Dynamic Range): بیشینه‌ی شتابی که حسگر بدون اشباع می‌تواند اندازه‌گیری کند.

حسگرهای ناوبری دقیق: $\pm10g$
حسگرهای صنعتی و ارتعاشی: تا $\pm1000g$
حسگرهای MEMS مصرفی: بین $\pm2g$ تا $\pm16g$

حساسیت (Sensitivity): حداقل تغییر شتابی که حسگر قادر به تشخیص آن است و معمولاً بر حسب $\mu g/\sqrt{Hz}$ بیان می‌شود.

باند فرکانسی (Bandwidth): بازه‌ی فرکانسی پاسخ‌گویی حسگر است؛ برای حسگرهای ناوبری معمولاً تا چند صد هرتز و در حسگرهای پیزوالکتریک تا چند ده کیلوهرتز می‌رسد.

منابع علمی (References)

Groves, P. D. Principles of GNSS, Inertial, and Multisensor Integrated Navigation Systems. Artech House, 2008.
Titterton, D. H., Weston, J. L. Strapdown Inertial Navigation Technology. IEE, 2004.
Braasch, M. S. Fundamentals of Inertial Aiding. IEEE AESS, 2024.
Siouris, G. M. Aerospace Avionics Systems: A Modern Synthesis. Academic Press, 1993.
IEEE Sensors Journal, Vol. 23 (2023), “Selected Papers on MEMS and Inertial Accelerometer Physics.”
MDPI Sensors (2022–2024), “Advances in Specific Force Measurement and Navigation Algorithms.”