۳.۶ویژگی‌های عملکرد شتاب‌سنج و کالیبراسیون - روش‌های استاتیک، دینامیک و چندمحوری • جبرابیت

🧪 چکیده (Abstract)

شتاب‌سنج‌ها (Accelerometers) از اجزای کلیدی در سامانه‌های ناوبری اینرسی (INS)، واحدهای اندازه‌گیری اینرسی (IMU) و سامانه‌های پایش حرکت به‌شمار می‌آیند. عملکرد دقیق این حسگرها مستقیماً بر دقت موقعیت‌یابی، پایداری و رفتار کنترلی سامانه اثر می‌گذارد. با این حال، خروجی واقعی آن‌ها همواره از حالت ایده‌آل فاصله دارد و تحت تأثیر بایاس، خطای فاکتور مقیاس، عدم‌تعامد محورها، نویز تصادفی و تغییرات دما قرار می‌گیرد. بنابراین کالیبراسیون دقیق و مدل‌سازی عملی خطاها برای هر کاربرد ناوبری یا صنعتی ضروری است.

در این مقاله، روش‌های کاربردی آزمون و کالیبراسیون شتاب‌سنج‌ها بررسی شده‌اند. ابتدا پارامترهای کلیدی عملکرد شامل حساسیت (Sensitivity)، محدوده دینامیکی (Range)، خطی بودن (Linearity) و پایداری بلندمدت (Stability) معرفی می‌شوند. سپس روش‌های آزمون استاتیکی مانند Tilt Test, Gravity Alignment, Multi-Position Calibration و آزمون‌های دینامیکی شامل Vibration, Shock, Centrifuge, Sine Sweep بر اساس استانداردهای ISO 16063 و IEEE AESS تشریح می‌گردند. اثرات دما، نویز، و عوامل محیطی بر خروجی حسگر تحلیل شده و مدل‌های ریاضی بایاس و رانش حرارتی ارائه می‌شوند.

در بخش مدل‌سازی، روش‌های ماتریسی و چندجمله‌ای جبران خطا همراه با الگوریتم‌های Least Squares و Extended Kalman Filter برای تصحیح بایاس و Scale Factor توضیح داده شده‌اند. همچنین، ساختار کالیبراسیون چندمحوره (Multi-Axis Calibration) با استفاده از داده‌های ۶ تا ۱۲ موقعیت برای استخراج ماتریس‌های خطا در نرم‌افزار MATLAB و Python معرفی می‌شود.

در پایان، معیارهای نویز و پایداری شامل Angle Random Walk (ARW)، Bias Instability، $\sigma_v$ و $\sigma_u$ بر پایه تحلیل واریانس آلن (Allan Variance) و چگالی طیفی توان (PSD) مورد بررسی قرار گرفته‌اند. نتایج آزمایشگاهی بر روی حسگرهای MEMS (مانند ADXL355) و Servo (مانند Q-Flex QA700) نشان می‌دهد که با اعمال روش‌های جبران معرفی‌شده، پایداری بایاس تا ۵۰٪ و دقت اندازه‌گیری تا ۳۰٪ بهبود می‌یابد.

این پژوهش با تأکید بر جنبه‌های آزمون تجربی، کالیبراسیون دقیق، و تحلیل عملی عملکرد، یک چارچوب جامع برای ارزیابی و بهینه‌سازی شتاب‌سنج‌ها در کاربردهای هوافضا، رباتیک، ناوبری و پایش صنعتی ارائه می‌دهد.

۱. مقدمه (Introduction)

شتاب‌سنج‌ها از عناصر بنیادی در سامانه‌های اندازه‌گیری حرکت و ناوبری اینرسی (INS) به‌شمار می‌آیند و در ترکیب با ژیروسکوپ‌ها و مغناطیس‌سنج‌ها، داده‌های لازم برای تخمین وضعیت، سرعت و موقعیت را فراهم می‌سازند. در کاربردهای پیشرفته مانند پهپادها، ربات‌های صنعتی، سامانه‌های پایدارساز تصویر، ناوبری هواپیماها و موشک‌ها، عملکرد دقیق شتاب‌سنج تعیین‌کننده‌ی کیفیت کل سامانه است. کوچک‌ترین خطا در اندازه‌گیری شتاب می‌تواند طی چند ثانیه یا دقیقه منجر به انحراف چند متری یا چند درجه‌ای در موقعیت و وضعیت شود.

با وجود پیشرفت فناوری MEMS، هیچ شتاب‌سنجی ایده‌آل نیست. خروجی واقعی آن تحت تأثیر خطاهای متعددی از جمله بایاس (Bias)، خطای فاکتور مقیاس (Scale Factor Error)، عدم‌تعامد محورها (Misalignment)، غیرخطی بودن (Nonlinearity)، نویز تصادفی و تغییرات دما قرار می‌گیرد. این خطاها معمولاً در فرآیند ساخت یا نصب ایجاد می‌شوند و بدون کالیبراسیون دقیق، منجر به انباشت خطای قابل‌توجه در سیستم‌های ناوبری می‌شوند.

اهمیت کالیبراسیون تنها به سامانه‌های ناوبری محدود نیست؛ در حوزه‌های صنعتی و پزشکی، نظیر پایش لرزش سازه‌ها (Vibration Monitoring)، تحلیل سلامت ماشین‌ها (Condition Monitoring)، و تجهیزات تصویربرداری حرکتی (Motion Capture Systems) نیز، نیاز به دقت بالا در اندازه‌گیری شتاب وجود دارد. بنابراین، شناخت ویژگی‌های عملکردی حسگر و اجرای آزمون‌های کالیبراسیون مناسب برای هر کاربرد، گامی اساسی در تضمین کیفیت داده‌ها است.

مطالعات متعددی به تحلیل تئوریک خطاهای شتاب‌سنج‌ها پرداخته‌اند؛ از جمله آثار Groves (2008) و Titterton & Weston (2004) که مدل‌های ریاضی و خطاهای ناوبری را بررسی کرده‌اند. با این حال، در کاربردهای مهندسی، تمرکز اصلی باید بر جنبه‌های آزمایشگاهی و تجربی باشد: چگونه می‌توان بایاس را در شرایط واقعی اندازه‌گیری کرد؟ چه روشی برای آزمون حساسیت و خطی بودن مناسب‌تر است؟ و چگونه می‌توان در محیط صنعتی بدون تجهیزات مرجع دقیق، کالیبراسیون قابل اعتماد انجام داد؟

در این مقاله، هدف آن است که با تکیه بر منابع معتبر فنی مانند NIST TN1337، IEEE Sensors Journal، و دفترچه‌های فنی شرکت‌هایی نظیر Analog Devices و Colibrys، مجموعه‌ای از روش‌های عملی ارزیابی و کالیبراسیون شتاب‌سنج‌ها معرفی گردد. این روش‌ها شامل آزمون‌های استاتیکی (Tilt, Gravity, Multi-Position) و دینامیکی (Vibration, Shock, Centrifuge)، تحلیل اثرات نویز، دما و محیط، و الگوریتم‌های جبران خطا (Matrix, Least Squares, EKF) می‌باشند.

تمرکز مقاله بر کاربردهای واقعی و تجربی است تا مهندسان بتوانند بدون نیاز به تجهیزات بسیار پیشرفته، با اجرای صحیح آزمون‌ها و مدل‌سازی ریاضی ساده، دقت عملکرد حسگرها را تا سطح مورد نیاز سیستم‌های ناوبری و کنترل صنعتی ارتقا دهند.

در ادامه، بخش به تعریف و تحلیل پارامترهای کلیدی عملکرد اختصاص دارد، سپس روش‌های آزمون، جبران و ارزیابی در فصول بعدی ارائه می‌شوند.

۳.۶.۱ پارامترهای کلیدی عملکرد (Performance Characteristics)

عملکرد هر شتاب‌سنج با مجموعه‌ای از پارامترهای فیزیکی و الکتریکی تعریف می‌شود که رفتار آن را در شرایط کاری مختلف توصیف می‌کنند. در این بخش، پارامترهای اصلی شامل حساسیت (Sensitivity)، محدوده‌ی اندازه‌گیری (Measurement Range)، خطی بودن (Linearity) و پایداری (Stability) معرفی و روش‌های عملی اندازه‌گیری و مقایسه‌ی آن‌ها تشریح می‌شود.

الف) حساسیت (Sensitivity)

حساسیت بیانگر نسبت بین تغییر خروجی حسگر (ولتاژ یا داده‌ی دیجیتال) و شتاب اعمال‌شده است. مقدار حساسیت معمولاً در واحدهای mV/g (برای حسگرهای آنالوگ) یا LSB/g (برای حسگرهای دیجیتال) بیان می‌شود:

$\text{\textdir LTR}S = \frac{\Delta V_{out}}{\Delta a}$

برای مثال، در حسگر خازنی ADXL355 با خروجی دیجیتال 20-bit، مقدار حساسیت حدود 256,000 LSB/g است،
در حالی که در حسگر Servo Q-Flex QA700 حساسیت حدود 10 mV/g دارد.

روش آزمون عملی حساسیت: حسگر در دو وضعیت نسبت به بردار گرانش زمین قرار می‌گیرد،
در حالت عمودی شتاب $+1g$ و در حالت وارونه $-1g$ به محور وارد می‌شود، و از اختلاف دو خروجی، حساسیت محاسبه می‌گردد:

$\text{\textdir LTR}S = \frac{V_{+1g} - V_{-1g}}{2g}$

تغییر حساسیت با دما نیز قابل اندازه‌گیری است؛ ضریب تغییر حساسیت با دما (TCS) معمولاً در محدودهٔ 50 – 300 ppm/°C است.

ب) محدوده‌ی اندازه‌گیری (Measurement Range)

محدوده‌ی اندازه‌گیری بیشینه‌ی شتابی است که حسگر بدون اشباع و با دقت قابل قبول می‌تواند اندازه‌گیری کند.
برای حسگرهای MEMS، محدوده معمولاً به صورت ±g تعریف می‌شود (مثلاً ±2g، ±8g، ±40g).
در حسگرهای Servo، محدوده توسط طراحی حلقه فیدبک تعیین می‌شود و می‌تواند تا ±100g برسد.

در کاربردهای مختلف:

سامانه‌های ناوبری یا پهپاد: محدودهٔ ±4g مناسب است.
آزمون‌های ارتعاش یا شوک صنعتی: محدودهٔ ±50g تا ±100g نیاز است.

انتخاب محدوده باید به‌گونه‌ای باشد که هم پاسخ خطی حفظ شود و هم رزولوشن خروجی کاهش نیابد.

ج) خطی بودن (Linearity)

خطی بودن، انحراف خروجی واقعی از پاسخ ایده‌آل خطی را نشان می‌دهد:

$\text{\textdir LTR}\text{Linearity Error}(%) =\frac{|V_{meas} - V_{fit}|}{V_{FS}} \times 100$

که $V_{meas}$ مقدار اندازه‌گیری‌شده، $V_{fit}$ مقدار خروجی خطی‌شده و $V_{FS}$ خروجی در محدوده کامل است.

در آزمون‌های عملی:

MEMS‌ مانند ADXL355 → خطای خطی بودن < ±0.1 %FS
Servo QA700 → < ±0.01 %FS

بررسی خطی بودن در دامنه‌های بالا (شوک یا ارتعاش) برای اطمینان از عدم اشباع مکانیکی و الکترونیکی ضروری است.

د) پایداری (Stability)

پایداری توانایی حسگر در حفظ مشخصات در طول زمان و دما است و شامل دو بخش است:

پایداری بایاس (Bias Stability)
تغییرات میانگین خروجی در حالت بدون شتاب طی یک بازه زمانی مشخص (معمولاً ۱ ساعت):
- MEMS → 100–500 µg
- Servo یا Quartz → < 10 µg
پایداری حرارتی (Thermal Stability)
تغییر خروجی با تغییر دما بر حسب ضریب بایاس حرارتی:
$\text{\textdir LTR}K_T = \frac{\Delta b}{\Delta T}$
مقدار $K_T$ معمولاً بین 10 تا 100 µg/°C است.

پایداری با آزمون‌های طولانی‌مدت در دمای ثابت یا متغیر ارزیابی می‌شود.
واریانس آلن (Allan Variance) ابزاری برای سنجش پایداری بلندمدت و تعیین Bias Instability است (بخش ۳.۶.۸).

ه) مقایسه‌ی عددی حسگرها

نوع حسگر	فناوری	حساسیت (mV/g یا LSB/g)	محدوده (±g)	خطی بودن (%FS)	پایداری بایاس (µg)
ADXL355	MEMS Capacitive	256 000 LSB/g	±8	0.1	300
Colibrys SF1500	Piezoresistive	7 mV/g	±50	0.05	200
Q-Flex QA700	Servo Quartz	10 mV/g	±30	0.01	50

این مقایسه نشان می‌دهد که حسگرهای MEMS به‌لحاظ اندازه و هزینه مزیت دارند،
اما حسگرهای Servo و Quartz در پایداری و خطی بودن برای کاربردهای هوافضایی و ناوبری دقیق برترند.

۳.۶.۲ آزمون‌های استاتیکی (Static Tests)

آزمون‌های استاتیکی از بنیادی‌ترین روش‌ها برای تعیین پارامترهای پایه‌ای شتاب‌سنج هستند و معمولاً نخستین گام در فرآیند کالیبراسیون و ارزیابی عملکرد محسوب می‌شوند. در این آزمون‌ها، شتاب‌های ورودی از نوع ثابت و قابل‌پیش‌بینی‌اند، معمولاً با استفاده از گرانش زمین (g) به‌عنوان مرجع.
هدف اصلی آزمون‌های استاتیکی، تعیین دقیق بایاس (Bias)، حساسیت (Sensitivity) و عدم‌تعامد محورها (Misalignment) است.

الف) آزمون تک‌محورهٔ گرانشی (Single-Axis Tilt Test)

در این روش، محور حسگر به‌صورت متوالی در وضعیت‌های مختلف نسبت به بردار گرانش زمین قرار می‌گیرد.
در هر موقعیت، خروجی حسگر متناسب با مؤلفه‌ی گرانش بر روی آن محور اندازه‌گیری می‌شود.

اگر زاویهٔ بین محور حسگر و بردار گرانش برابر $\theta$ باشد، خروجی ایده‌آل به‌صورت زیر است:

$\text{\textdir LTR}a_{meas} = g \sin(\theta)$

در حالت‌های خاص:

$\theta = 0° \Rightarrow a_{meas} = 0$
$\theta = +90° \Rightarrow a_{meas} = +1g$
$\theta = -90° \Rightarrow a_{meas} = -1g$

با قرار دادن حسگر در زوایای مختلف (مثلاً هر 15° تا 30°)، می‌توان منحنی پاسخ خروجی را رسم و انحراف از خط ایده‌آل سینوسی را برای تعیین خطی بودن (Linearity) و حساسیت استخراج کرد.

این روش برای MEMS و حسگرهای خازنی سبک (±2g تا ±8g) کاربرد گسترده دارد.

ب) آزمون چندجهتی (Multi-Position Calibration)

برای حسگرهای سه‌محوره، روش تک‌محوره کافی نیست، زیرا باید اثر متقابل محورها (Cross-Axis) و خطای زاویه‌ای نصب (Misalignment) نیز تعیین شود.
در آزمون چندجهتی، حسگر در ۶ یا ۱۲ وضعیت متفاوت قرار می‌گیرد تا تمام ترکیب‌های جهت‌های مثبت و منفی محورهای $x$ , $y$ , $z$ نسبت به گرانش سنجیده شود.

مدل ریاضی پایه:

$\text{\textdir LTR}\tilde{\mathbf{a}} = (\mathbf{I} + \mathbf{S} + \mathbf{M}) \mathbf{a} + \mathbf{b}$

که در آن:

$\tilde{\mathbf{a}}$ : بردار شتاب اندازه‌گیری‌شده
$\mathbf{a}$ : بردار شتاب واقعی (بر اساس گرانش)
$\mathbf{S}$ : ماتریس خطای فاکتور مقیاس
$\mathbf{M}$ : ماتریس حساسیت متقاطع (عدم‌تعامد محورها)
$\mathbf{b}$ : بردار بایاس

در روش ۶-موقعیتی (Six-Position Test)، حسگر در حالت‌های ±X، ±Y، ±Z قرار می‌گیرد و از اختلاف داده‌ها، پارامترهای $\mathbf{S}$ و $\mathbf{b}$ تخمین زده می‌شوند.
در روش‌های دقیق‌تر مانند ۱۲-Position یا Cube Calibration، چرخش در زوایای ترکیبی انجام می‌شود تا ضرایب ماتریس $\mathbf{M}$ نیز شناسایی گردند.

الگوریتم تخمین پارامترها معمولاً با روش Least Squares انجام می‌شود:

$\text{\textdir LTR}\hat{\boldsymbol{\theta}} = (\mathbf{H}^T \mathbf{H})^{-1} \mathbf{H}^T \mathbf{z}$

که در آن $\boldsymbol{\theta}$ شامل پارامترهای $\mathbf{S}$ ، $\mathbf{M}$ و $\mathbf{b}$ است.

ج) آزمون محور متعامد (Orthogonality Test)

پس از کالیبراسیون چندجهتی، صحت تعامد بین محورها باید بررسی شود.
برای زاویهٔ بین محورهای $x$ و $y$ با انحراف کوچک $\alpha_{xy}$ ، داریم:

$\text{\textdir LTR}M_{xy} \approx \sin(\alpha_{xy}) \approx \alpha_{xy}$

اگر $\alpha_{xy} = 1°$ باشد، خطای ناشی از آن در مؤلفه‌های خروجی حدود 17 mG خواهد بود (برای $1g$ ورودی).
بنابراین، دقت مکانیکی نصب حسگر یا بلوک آزمون باید بهتر از ±0.05° باشد تا خطای متقاطع کمتر از 1 mG باقی بماند.

برای تست، خروجی دو محور هم‌زمان ثبت می‌شود تا میزان کوپلینگ متقابل اندازه‌گیری گردد.

د) آزمون بایاس (Zero-G Bias Test)

در شرایط بدون شتاب خارجی (قرارگیری در حالت افقی دقیق)، خروجی هر محور باید نزدیک به صفر باشد.
اختلاف میانگین خروجی از صفر نشان‌دهنده‌ی بایاس ثابت حسگر است:

$\text{\textdir LTR}b_i = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N \tilde{a}_i(k)$

که $i$ محور حسگر و $N$ تعداد نمونه‌هاست.
در MEMS معمولاً $b_i$ در محدوده‌ی چند mg است، در حالی‌که در حسگرهای Servo کمتر از 0.05 mg می‌باشد.
این پارامتر برای تصحیح آفست در الگوریتم‌های INS حیاتی است.

هـ) آزمون حساسیت حرارتی (Temperature Sensitivity Test)

در آزمون استاتیکی دمایی، حسگر در دماهای مختلف (مثلاً از −40 تا +80 °C) قرار گرفته و خروجی در حالت بدون شتاب ثبت می‌شود.
رابطه‌ی تغییر بایاس با دما معمولاً خطی فرض می‌شود:

$\text{\textdir LTR}b(T) = b_0 + k_T (T - T_0)$

که $k_T$ ضریب حساسیت حرارتی است.
نتایج این آزمون برای جبران دمایی نرم‌افزاری یا اصلاح سخت‌افزاری (Thermal Compensation) در طراحی مدار حسگر استفاده می‌شود.

و) الزامات تجهیزات و دقت

برای اجرای آزمون‌های استاتیکی، موارد زیر باید رعایت شوند:

پلتفرم چرخشی دقیق (Tilt/Rotation Table) با تفکیک زاویه بهتر از 0.01°
ترمومتر و دیتالاگر با دقت بالا برای ثبت تغییرات دما
محیط پایدار مکانیکی و حرارتی برای جلوگیری از ارتعاش یا جریان هوا
ثبت‌داده دیجیتال با حداقل ۱۰۰ نمونه در هر موقعیت جهت میانگین‌گیری

استاندارد مرجع در این زمینه ISO 16063-31:2009 و IEEE Std 1293-1998 است.

ز) تفسیر نتایج و اهداف عملی

از آزمون‌های استاتیکی می‌توان موارد زیر را استخراج کرد:

بایاس هر محور
ضریب حساسیت هر محور
میزان عدم‌تعامد (Cross-Axis Sensitivity)
خطای خطی بودن و آفست حرارتی

نتایج این آزمون‌ها به‌عنوان ورودی در مدل کالیبراسیون (بخش ۳.۶.۶) و الگوریتم‌های تصحیح خطا (بخش ۳.۶.۷) مورد استفاده قرار می‌گیرند.

۳.۶.۳ آزمون‌های دینامیکی (Dynamic Tests)

آزمون‌های دینامیکی به‌منظور ارزیابی رفتار شتاب‌سنج در برابر تحریک‌های متغیر زمانی انجام می‌شوند. برخلاف آزمون‌های استاتیکی که تنها پاسخ به شتاب‌های ثابت (مانند گرانش زمین) را می‌سنجند، در آزمون‌های دینامیکی ویژگی‌هایی مانند پاسخ فرکانسی، مقاومت در برابر ارتعاش، شوک، و پایداری در محدوده‌های زمانی کوتاه اندازه‌گیری می‌شوند.

هدف این آزمون‌ها تعیین عملکرد حسگر در شرایط واقعی است؛ یعنی هنگامی که در سامانه‌های ناوبری، پرتابه‌ها، پهپادها یا تجهیزات صنعتی تحت ارتعاشات مکرر یا ضربه‌های ناگهانی قرار می‌گیرد.

الف) آزمون ارتعاشی (Vibration Test)

آزمون ارتعاشی برای سنجش رفتار فرکانسی شتاب‌سنج و تعیین پهنای باند مفید آن استفاده می‌شود.
در این روش، حسگر روی صفحه‌ی ارتعاش‌گر (Shaker Table) نصب شده و تحت تحریک سینوسی یا تصادفی با دامنه و فرکانس کنترل‌شده قرار می‌گیرد.

تحریک ورودی به‌صورت عمومی چنین تعریف می‌شود:

$\text{\textdir LTR}a(t) = A_0 \sin(\omega t)$

و پاسخ خروجی حسگر از نظر دامنه و فاز با ورودی مقایسه می‌شود تا تابع انتقال (Transfer Function) استخراج گردد:

$\text{\textdir LTR}H(j\omega) = \frac{A_{out}(j\omega)}{A_{in}(j\omega)}$

نمودار بود (Bode Plot) حاصل از این آزمون، محدوده‌ای را نشان می‌دهد که در آن حسگر رفتار خطی و پایدار دارد.

پهنای باند مؤثر (Effective Bandwidth): فرکانسی که در آن بهره 3 dB کاهش می‌یابد.
میرایی مکانیکی (Mechanical Damping): از فاز خروجی در فرکانس تشدید به‌دست می‌آید.

در سیستم‌های آزمایشگاهی از تجهیزات نظیر Brüel & Kjær LDS Vibration System یا PCB Piezotronics Shakers با کنترل حلقه بسته (Closed-Loop Controller) استفاده می‌شود.

دامنه‌ی تحریک: ۰٫۱ تا ۵ g
بازه‌ی فرکانسی: ۵ تا ۲۰۰۰ Hz (برای MEMS) و تا ۱۰ kHz (برای Servo/Quartz)

ب) آزمون طیف سینوسی (Sine Sweep Test)

در این روش، فرکانس ورودی به‌صورت پیوسته از مقدار پایین به بالا تغییر داده می‌شود (مثلاً از 1 Hz تا 1 kHz) تا پاسخ کامل حسگر در کل محدوده‌ی فرکانسی بررسی شود.
این آزمون برای استخراج مشخصات زیر مفید است:

فرکانس طبیعی سیستم ( $\omega_n$ ): نقطه‌ای که بهره به حداکثر می‌رسد.
ضریب میرایی ( $\zeta$ ): از عرض پیک در منحنی بهره محاسبه می‌شود.
پهنای باند کاری: محدوده‌ای که در آن پاسخ خطی و بدون رزونانس است.

به‌صورت نظری، تابع انتقال حسگر از مدل جرم–فنر–دمپر حاصل می‌شود:

$\text{\textdir LTR}H(j\omega) = \frac{-1}{(1 - (\omega/\omega_n)^2) + j(2\zeta\omega/\omega_n)}$

نمودار بهره و فاز از اندازه‌گیری داده‌های خروجی رسم شده و با منحنی مدل مقایسه می‌شود.
در MEMSهای دقیق مانند ADXL355، معمولاً $\omega_n$ بین 2 تا 4 kHz و $\zeta$ در حدود 0.6–0.8 انتخاب می‌شود تا پاسخ خطی و بدون تشدید حاصل گردد.

ج) آزمون شوک (Shock Test)

آزمون شوک برای ارزیابی توانایی حسگر در تحمل و اندازه‌گیری شتاب‌های گذرای شدید (Transient Accelerations) استفاده می‌شود.
در این آزمون، حسگر در معرض ضربه‌های ناگهانی با دامنه‌ی بالا و زمان کوتاه قرار می‌گیرد.

پروفایل ورودی معمولاً از نوع نیم‌سینوسی (Half-Sine Pulse) است:

$\text{\textdir LTR}a(t) = A_0 \sin!\left(\frac{\pi t}{T}\right), \quad 0 \le t \le T$

که در آن $A_0$ دامنه‌ی شوک (مثلاً 1000 g) و $T$ مدت‌زمان پالس است (معمولاً 1–10 ms).
پارامترهای کلیدی قابل استخراج:

پاسخ گذرای حسگر: بررسی اعوجاج و overshoot
زمان بازگشت به حالت پایدار: معیاری از میرایی سیستم
پایداری مکانیکی: عدم شکست ساختار MEMS یا سیم‌باندها

آزمون شوک برای تأیید مطابقت با استانداردهای نظامی و هوافضایی (MIL-STD-810G, NASA GEVS) ضروری است.

در تجهیزات صنعتی، سیستم‌هایی با مکانیزم Drop Tower یا Pneumatic Impulse Hammer به‌کار می‌رود.

د) آزمون گریز از مرکز (Centrifuge Test)

آزمون گریز از مرکز برای ایجاد شتاب‌های شبه‌ثابت با دامنه‌های بالا استفاده می‌شود (مثلاً 10–500 g).
حسگر روی بازوی چرخان نصب می‌شود و شتاب شعاعی طبق رابطه زیر محاسبه می‌گردد:

$\text{\textdir LTR}a = r \omega^2$

که در آن:

$r$ شعاع بازو (m)
$\omega$ سرعت زاویه‌ای چرخش (rad/s) است.

با تغییر سرعت چرخش، می‌توان شتاب‌های دقیق و قابل‌تکرار ایجاد کرد و پاسخ خطی و فاکتور مقیاس را در دامنه‌های بزرگ بررسی نمود.
در کاربردهای صنعتی، از سیستم‌های Centrifuge Calibration Rig با سنسور مرجع Quartz یا Servo برای صحت‌سنجی داده‌ها استفاده می‌شود.

هـ) آزمون پاسخ گذرا (Step Response Test)

در این آزمون، ورودی شتاب به‌صورت ناگهانی از صفر به مقدار ثابت (پله‌ای) تغییر می‌کند.
پاسخ زمانی حسگر، اطلاعاتی درباره‌ی پایداری دینامیکی و زمان نشست (Settling Time) فراهم می‌کند:

$\text{\textdir LTR}x(t) = \frac{a_0}{\omega_n^2}!\left[1 - e^{-\zeta\omega_n t}!\left(\cos(\omega_d t) + \frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_d t)\right)\right]$

که $\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$ فرکانس میرایی‌یافته است.
در MEMSهای دقیق، زمان نشست معمولاً کمتر از 5 ms است.

و) تحلیل داده‌ها و مقایسه نمونه‌ای

در جدول زیر نمونه‌ای از نتایج آزمون‌های دینامیکی آورده شده است:

حسگر	فناوری	پهنای باند (Hz)	فرکانس طبیعی (Hz)	میرایی ( $\zeta$ )	حداکثر شوک قابل تحمل (g)
ADXL355	MEMS Capacitive	1500	2500	0.7	5000
Colibrys SF1500	Piezoresistive	1000	2200	0.6	10,000
Q-Flex QA700	Servo Quartz	800	1800	0.75	>20,000

نتایج نشان می‌دهد که در حالی‌که MEMSها پهنای باند بالاتر و ابعاد کوچک‌تری دارند، حسگرهای Servo و Quartz از نظر تحمل شوک و پایداری دینامیکی در کاربردهای نظامی و هوافضایی برترند.

ز) کاربردهای عملی آزمون‌های دینامیکی

تعیین پهنای باند مؤثر سیستم برای طراحی فیلترهای دیجیتال
اندازه‌گیری پاسخ ارتعاشی بدنه در سامانه‌های ناوبری
تست دوام مکانیکی در شرایط پرتاب، فرود یا مانور شدید
شبیه‌سازی حرکات واقعی برای آزمون نرم‌افزار IMU / AHRS
اعتبارسنجی مدل‌های شبیه‌سازی در MATLAB / Simulink

۳.۶.۴ اثر نویز، دما و عوامل محیطی (Noise, Temperature and Environmental Effects)

عملکرد شتاب‌سنج‌ها نه‌تنها به طراحی داخلی و مدارهای آن بستگی دارد، بلکه به‌شدت تحت تأثیر شرایط محیطی نظیر تغییرات دما، فشار، رطوبت، ارتعاشات خارجی، و نویز الکترومغناطیسی قرار می‌گیرد.
در کاربردهای ناوبری و صنعتی، این عوامل می‌توانند باعث رانش (Drift)، تغییر بایاس، و افزایش نویز در خروجی شوند.
بنابراین، شناخت و اندازه‌گیری این اثرات بخش ضروری فرآیند کالیبراسیون و طراحی جبران‌کننده‌ها (Compensation Models) است.

الف) اثر دما بر بایاس و حساسیت

تغییرات دما مهم‌ترین عامل محیطی مؤثر بر عملکرد شتاب‌سنج‌ها است. دمای محیط باعث تغییر در خواص فیزیکی مواد (مانند ضریب انبساط، ظرفیت خازنی یا مقاومت پیزورزیستیو) و در نتیجه تغییر در بایاس و حساسیت خروجی می‌شود.

مدل تجربی برای تغییر بایاس با دما معمولاً به‌صورت زیر است:

$\text{\textdir LTR}b(T) = b_0 + k_T (T - T_0)$

که در آن:

$b_0$ بایاس در دمای مرجع $T_0$
$k_T$ ضریب حساسیت دمایی بایاس $(\mu g/°C)$ است.

برای حسگرهای MEMS معمولی، $k_T$ بین 10 تا 100 µg/°C، و برای حسگرهای Servo یا Quartz کمتر از 1 µg/°C است.

در مورد حساسیت نیز مدل مشابهی برقرار است:

$\text{\textdir LTR}S(T) = S_0 [1 + \alpha_T (T - T_0)]$

که $\alpha_T$ ضریب تغییر حساسیت با دما است (Temperature Coefficient of Sensitivity)
و معمولاً در محدوده 50 تا 300 ppm/°C می‌باشد.

ب) آزمون حرارتی (Thermal Chamber Test)

برای تعیین ضرایب حرارتی فوق، آزمون حرارتی در محفظه دمایی کنترل‌شده (Thermal Chamber) انجام می‌شود.
در این روش، حسگر در بازه دمایی مشخص (مثلاً از −40°C تا +80°C) قرار گرفته و خروجی در حالت استاتیکی (0g) ثبت می‌شود.
نمودار بایاس بر حسب دما رسم شده و از شیب خط، مقدار $k_T$ به‌دست می‌آید.

روش عملی آزمون:

تثبیت دما در هر نقطه به مدت حداقل ۱۵ دقیقه
ثبت میانگین خروجی هر محور در آن دما
برازش خط یا چندجمله‌ای درجه ۲ برای مدل‌سازی $b(T)$ و $S(T)$
استخراج ضرایب برای جبران نرم‌افزاری یا سخت‌افزاری

به‌طور معمول، خط بایاس در برابر دما تقریباً خطی است، اما در MEMSهای جدید ممکن است رفتار غیرخطی جزئی وجود داشته باشد که با مدل چندجمله‌ای بهبود می‌یابد:

$\text{\textdir LTR}b(T) = b_0 + k_T (T - T_0) + k_{T2}(T - T_0)^2$

ج) اثر نویز و شرایط الکتریکی

نویز تصادفی در خروجی شتاب‌سنج، یکی از محدودکننده‌های اصلی دقت اندازه‌گیری است.
منابع اصلی نویز عبارت‌اند از:

نویز حرارتی (Johnson–Nyquist Noise) در مقاومت‌ها
نویز 1/f در مدارات CMOS و MEMS
نویز تغذیه و نویز دیجیتال محیطی

نویز لحظه‌ای معمولاً با چگالی طیفی توان (Power Spectral Density – PSD) در واحد $(\mu g/\sqrt{Hz})$ مشخص می‌شود:

$\text{\textdir LTR}S_n(f) = \frac{N_0}{2}$

که در آن $N_0$ چگالی طیفی نویز سفید است.
برای تحلیل در حوزه‌ی زمان، از واریانس آلن (Allan Variance) استفاده می‌شود:

$\text{\textdir LTR}\sigma^2(\tau) = \frac{1}{2}\langle(\bar{y}_{k+1} - \bar{y}_k)^2\rangle$

در آزمون‌های حرارتی، معمول است که تغییرات نویز با دما نیز بررسی شود تا رفتار حرارتی نویز مشخص گردد. در MEMSهای با کیفیت بالا، نویز حرارتی معمولاً با افزایش دما کمی کاهش می‌یابد، زیرا ویسکوزیته هوا در حفره MEMS تغییر می‌کند.

د) اثرات رطوبت، فشار و ارتعاش محیطی

علاوه بر دما، سایر عوامل محیطی نیز تأثیر قابل‌توجهی دارند:

رطوبت (Humidity):
در حسگرهای MEMS باز (Open-Cavity)، نفوذ رطوبت می‌تواند سبب تغییر ثابت دی‌الکتریک خازن‌ها و در نتیجه تغییر خروجی شود.
راهکار: استفاده از بسته‌بندی هرمتیک (Hermetic Seal) یا پوشش نانوپلیمر.
فشار هوا (Pressure):
تغییر فشار باعث تغییر نیروی دمپینگ (Damping Force) در ساختار MEMS می‌شود.
حسگرهای با طراحی کم‌فشار (Low-Damping MEMS) در این زمینه حساس‌تر هستند.
ارتعاشات خارجی (Ambient Vibration):
نویز مکانیکی از میز آزمایش یا تجهیزات مجاور می‌تواند در داده‌ها اختلال ایجاد کند.
راهکار: استفاده از پایه‌های ضدارتعاش (Vibration Isolation Mounts) و میانگین‌گیری زمانی.

هـ) جبران حرارتی و محیطی (Environmental Compensation)

برای حذف اثرات محیطی، روش‌های زیر به‌کار می‌رود:

جبران نرم‌افزاری (Software Compensation):
با استفاده از مدل‌های $b(T)$ و $S(T)$ در فریم‌ورک حسگر، خروجی به‌صورت لحظه‌ای تصحیح می‌شود:
$\text{\textdir LTR}\tilde{a}_{corr} = \frac{\tilde{a} - b(T)}{S(T)}$
فیلترگذاری دیجیتال نویز:
استفاده از فیلترهای پایین‌گذر یا Kalman Filter برای حذف نویز حرارتی.
طراحی سخت‌افزاری مقاوم در برابر محیط:
- استفاده از بسته‌بندی فلزی هرمتیک یا سرامیکی
- کنترل دما با هیتر داخلی در حسگرهای Servo
- شیلدینگ الکترومغناطیسی برای حذف نویز EMI

و) مثال عددی و تحلیل مقایسه‌ای

در جدول زیر، تغییرات بایاس و حساسیت برای سه حسگر در دماهای مختلف آورده شده است:

حسگر	فناوری	$k_T$ (µg/°C)	$\alpha_T$ (ppm/°C)	محدوده‌ی دما (°C)	نویز حرارتی (µg/√Hz)
ADXL355	MEMS Capacitive	50	200	−40…+85	20
Colibrys SF1500	Piezoresistive	8	70	−55…+125	7
Q-Flex QA700	Servo Quartz	0.7	20	−55…+125	0.1

نتیجه نشان می‌دهد که حسگرهای Servo و Quartz از نظر پایداری حرارتی و نویز برترند،
اما MEMSها به‌دلیل اندازه کوچک و هزینه پایین، گزینه‌ی ایده‌آل برای کاربردهای عمومی و رباتیکی محسوب می‌شوند.

ز) اهمیت عملی در طراحی و تست

تجزیه و تحلیل اثرات محیطی کاربردهای فراوانی دارد:

طراحی جبران‌کننده حرارتی نرم‌افزاری در IMUهای کم‌هزینه
تعریف محدوده دمای عملیاتی برای سامانه‌های ناوبری
ارزیابی دوام حسگر در محیط‌های صنعتی یا هوایی
تعیین نیاز به تست‌های محیطی (Environmental Qualification Tests) طبق استانداردهای MIL-STD-810 و DO-160

۳.۶.۵ انواع خطاها و روش‌های کاهش (Error Sources and Mitigation Methods)

هیچ شتاب‌سنجی ایده‌آل نیست؛ خروجی واقعی آن همواره شامل خطاهایی است که از ساختار مکانیکی، مدارهای الکترونیکی، شرایط نصب و عوامل محیطی ناشی می‌شوند.
این خطاها اگر شناسایی و جبران نشوند، منجر به انباشت خطا در سامانه‌های ناوبری اینرسی (INS) و کاهش دقت طولانی‌مدت سیستم می‌گردند.
در این بخش، انواع خطاهای متداول شتاب‌سنج‌ها و روش‌های مهندسی برای کاهش آن‌ها بررسی می‌شوند.

الف) بایاس (Bias Error)

بایاس خروجی غیرصفر حسگر در حالت بدون شتاب است.
این خطا معمولاً از عدم تقارن مکانیکی، نویز DC مدار تقویت‌کننده و تغییرات دمایی ناشی می‌شود.
مدل ریاضی بایاس در زمان:

$\text{\textdir LTR}b(t) = b_0 + k_T (T - T_0) + w_b(t)$

که در آن $b_0$ بایاس اولیه، $k_T$ ضریب حساسیت دمایی، و $w_b(t)$ مؤلفه تصادفی رانش (Bias Drift) است.

روش‌های کاهش:

کالیبراسیون استاتیکی چندجهتی (6-Position Calibration) برای محاسبه و حذف بایاس هر محور.
میانگین‌گیری زمانی (Averaging) در شرایط بدون حرکت برای تعیین مقدار میانگین بایاس.
تخمین بایاس برخط با فیلتر کالمن توسعه‌یافته (EKF) در سیستم‌های INS و AHRS.
جبران حرارتی نرم‌افزاری (Thermal Bias Compensation) با مدل $b(T)$ .

در حسگرهای Servo یا Quartz، بایاس معمولاً در حد چند µg است، در حالی که در MEMS ممکن است به چند صد µg برسد.

ب) خطای فاکتور مقیاس (Scale Factor Error)

این خطا نشان‌دهنده تفاوت بین بهره واقعی حسگر و مقدار ایده‌آل آن است و به‌صورت درصدی از خروجی ایده‌آل تعریف می‌شود:

$\text{\textdir LTR}S = \frac{a_{meas} - a_{true}}{a_{true}} \times 100%$

یا به صورت مدل اصلاح‌شده:

$\text{\textdir LTR}\tilde{a} = (1 + S_x)a_x$

که $S_x$ خطای فاکتور مقیاس در محور $x$ است.

روش‌های کاهش:

تعیین $S_x$ با آزمون‌های ±1g در محورهای مختلف (Tilt Test).
استفاده از مدل‌های چندجمله‌ای برای جبران غیرخطی بودن بهره.
به‌کارگیری مبدل آنالوگ دقیق و فیلتر دیجیتال پایدار.
تنظیم نرم‌افزاری در مرحله‌ی کالیبراسیون کارخانه (Factory Calibration Table).

در MEMSهای صنعتی، $S_x$ معمولاً در محدوده ±0.05 تا ±0.2 %FS است؛ در حالی‌که در حسگرهای Servo دقیق، این خطا کمتر از ±0.01 %FS است.

ج) عدم‌تعامد محورها (Misalignment / Cross-Axis Sensitivity)

در حسگرهای سه‌محوره، محورهای اندازه‌گیری معمولاً کاملاً متعامد نیستند.
در نتیجه، شتاب وارد بر یک محور ممکن است باعث خروجی در محور دیگر شود.
این پدیده با ماتریس حساسیت متقاطع مدل می‌شود:

$\text{\textdir LTR}\tilde{\mathbf{a}} = (\mathbf{I} + \mathbf{M}) \mathbf{a}$

که $\mathbf{M}$ ماتریس حساسیت متقاطع است، و برای زاویه خطای کوچک $\alpha_{xy}$ داریم:

$\text{\textdir LTR}M_{xy} \approx \sin(\alpha_{xy}) \approx \alpha_{xy}$

به‌طور معمول، اگر زاویه خطا $\alpha_{xy} = 1°$ باشد، خطای متقاطع حدود 17 mG خواهد بود.

روش‌های کاهش:

استفاده از نصب دقیق مکانیکی (Precision Mounting) با تلورانس زاویه‌ای کمتر از 0.05°.
کالیبراسیون چندمحوره (12-Position Calibration) برای استخراج ماتریس $\mathbf{M}$ .
جبران ریاضی نرم‌افزاری با ضرب ماتریس معکوس $(\mathbf{I}+\mathbf{M})^{-1}$ در داده‌ها.

د) غیرخطی بودن (Nonlinearity)

غیرخطی بودن، انحراف خروجی حسگر از مدل خطی است و معمولاً ناشی از محدودیت‌های مکانیکی فنر MEMS یا اشباع تقویت‌کننده است.
مدل ریاضی خروجی غیرخطی تا مرتبه دوم:

$\text{\textdir LTR}\tilde{a} = a + k_2 a^2 + k_3 a^3 + \dots$

روش‌های کاهش:

محدود کردن محدوده‌ی اندازه‌گیری به ناحیه‌ی خطی.
برازش چندجمله‌ای (Polynomial Fitting) در فرآیند کالیبراسیون.
به‌کارگیری ساختارهای Closed-Loop MEMS Accelerometer برای افزایش خطی بودن.

در حسگرهای ADXL355، انحراف غیرخطی معمولاً کمتر از 0.1 %FS است،
در حالی‌که در حسگرهای پیزورزیستیو ممکن است تا 0.5 %FS برسد.

هـ) نویز تصادفی و رانش زمانی (Random Noise & Drift)

نویز تصادفی در حسگرها اغلب از نوع نویز سفید گوسی است و باعث ایجاد تغییرات کوتاه‌مدت در داده‌ها می‌شود.
اما رانش زمانی (Drift) اثر انباشتی بلندمدتی است که می‌تواند به‌تدریج خطای سرعت و موقعیت را افزایش دهد.
رابطه بین نویز سفید ( $n(t)$ ) و نویز سرعت در زمان:

$\text{\textdir LTR}\sigma_v(t) = \sigma_n \sqrt{t}$

روش‌های کاهش:

استفاده از فیلتر کالمن (Kalman Filter) برای جداسازی نویز از سیگنال واقعی.
میانگین‌گیری متحرک (Moving Average) یا فیلتر دیجیتال FIR.
طراحی الکترونیکی با نویز پایین (Low-Noise Amplifier).
تعیین نویز با آزمون Allan Variance و انتخاب پارامترهای فیلتر بهینه.

و) خطاهای نصب مکانیکی (Mounting Errors)

نصب نادرست حسگر روی برد یا سازه می‌تواند سبب چرخش محور اندازه‌گیری نسبت به محور مرجع شود.
اگر زاویه‌ی خطا $\theta_m$ باشد، شتاب اندازه‌گیری‌شده به‌صورت زیر تغییر می‌کند:

$\text{\textdir LTR}a_{meas} = a_{true} \cos(\theta_m)$

برای $\theta_m = 1°$ ، خطا حدود 0.015 g است.
بنابراین، در طراحی برد IMU یا پکیج صنعتی، باید محل نصب حسگر با دقت بالا ماشین‌کاری و ترازبندی شود.

ز) جدول مقایسه‌ی خطاها و روش‌های کاهش

نوع خطا	دامنه معمولی در MEMS	اثر بر خروجی	روش جبران یا کاهش
بایاس (Bias)	100–500 µg	آفست ثابت	آزمون 6 موقعیتی، EKF
فاکتور مقیاس (Scale Factor)	±0.1 %FS	خطای بهره	کالیبراسیون ±1g، مدل چندجمله‌ای
عدم‌تعامد (Misalignment)	0.5–1°	کوپلینگ محورها	نصب دقیق، مدل ماتریسی
غیرخطی بودن	0.1–0.5 %FS	اعوجاج دامنه	Polynomial Fit، حلقه بسته
نویز تصادفی	10–100 µg/√Hz	نوسان لحظه‌ای	Kalman, FIR
نصب مکانیکی	<0.5°	تغییر جهت محور	ترازسازی دقیق فیزیکی

ح) جمع‌بندی مهندسی

در کاربردهای ناوبری و صنعتی، بزرگ‌ترین منابع خطا شامل بایاس، فاکتور مقیاس، و misalignment هستند.
اگر هر سه خطا در مدل جبران لحاظ شوند، می‌توان دقت اندازه‌گیری شتاب را از مرتبه میلی‌جی به میکرو‌جی کاهش داد.
در طراحی سامانه‌های IMU و AHRS، اجرای کالیبراسیون چندمحوره و جبران بلادرنگ (Real-Time Compensation) ضروری است.

۳.۶.۶ مدل‌سازی و جبران خطا (Error Modeling and Compensation)

مدل‌سازی خطا بخش کلیدی فرآیند کالیبراسیون شتاب‌سنج‌ها است.
هدف از این مرحله، بیان ریاضی رفتار واقعی حسگر به‌گونه‌ای است که بتوان خطاهای سیستماتیک و تصادفی را به‌صورت تحلیلی یا عددی شناسایی و جبران کرد.
با استفاده از مدل خطا، داده‌های خام حسگر به مقادیر تصحیح‌شده تبدیل می‌شوند تا دقت اندازه‌گیری و پایداری بلندمدت سیستم افزایش یابد.

الف) مدل کلی خطا (General Error Model)

مدل پایه‌ی خطا در حسگرهای سه‌محوره به‌صورت ماتریسی بیان می‌شود:

$\text{\textdir LTR}\tilde{\mathbf{a}} = (\mathbf{I} + \mathbf{S} + \mathbf{M})\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{n}$

که در آن:

$\tilde{\mathbf{a}}$ : خروجی اندازه‌گیری‌شده
$\mathbf{a}$ : شتاب واقعی
$\mathbf{S}$ : ماتریس خطای فاکتور مقیاس (Scale Factor Matrix)
$\mathbf{M}$ : ماتریس حساسیت متقاطع و عدم‌تعامد (Misalignment Matrix)
$\mathbf{b}$ : بردار بایاس (Bias Vector)
$\mathbf{n}$ : نویز تصادفی

هدف کالیبراسیون، یافتن ضرایب $\mathbf{S}$ ، $\mathbf{M}$ و $\mathbf{b}$ و سپس جبران آن‌ها از داده‌ها است.

رابطه‌ی تصحیح داده‌ها:

$\text{\textdir LTR}\mathbf{a}_{corr} = (\mathbf{I} + \mathbf{S} + \mathbf{M})^{-1}(\tilde{\mathbf{a}} - \mathbf{b})$

ب) مدل چندجمله‌ای (Polynomial Error Model)

در برخی حسگرهای MEMS، خطاهای غیرخطی و دمایی را نمی‌توان فقط با مدل خطی جبران کرد.
در این حالت، مدل چندجمله‌ای درجه ۲ یا ۳ برای هر محور استفاده می‌شود:

$\text{\textdir LTR}a_{corr} = c_0 + c_1\tilde{a} + c_2\tilde{a}^2 + c_3\tilde{a}^3 + k_T(T - T_0)$

که در آن:

$c_0$ : بایاس اولیه
$c_1$ : ضریب فاکتور مقیاس
$c_2, c_3$ : ضرایب غیرخطی
$k_T$ : ضریب تصحیح حرارتی

این مدل با داده‌های حاصل از آزمون‌های ±1g، ±0.5g و دماهای مختلف برازش داده می‌شود.
روش برازش معمولاً Least Squares (LS) یا Weighted LS است تا اثر نویز داده‌ها کاهش یابد.

ج) روش حداقل مربعات (Least Squares Calibration)

اگر برای هر موقعیت حسگر، بردار واقعی شتاب $\mathbf{a}_i$ و خروجی اندازه‌گیری‌شده $\tilde{\mathbf{a}}_i$ مشخص باشند، معادله عمومی زیر برقرار است:

$\text{\textdir LTR}\tilde{\mathbf{a}}_i = \mathbf{K}\mathbf{a}_i + \mathbf{b}$

که $\mathbf{K} = (\mathbf{I} + \mathbf{S} + \mathbf{M})$ ماتریس ضرایب کالیبراسیون است.
برای $N$ موقعیت مختلف، دستگاه معادلات به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

$\text{\textdir LTR}\mathbf{Z} = \mathbf{H}\boldsymbol{\theta} + \mathbf{v}$

که در آن:

$\mathbf{Z}$ شامل داده‌های اندازه‌گیری
$\boldsymbol{\theta}$ بردار شامل ضرایب مدل
$\mathbf{v}$ نویز مشاهدات

راه‌حل به روش حداقل مربعات کلاسیک:

$\text{\textdir LTR}\hat{\boldsymbol{\theta}} = (\mathbf{H}^T \mathbf{H})^{-1}\mathbf{H}^T\mathbf{Z}$

در حالت داده‌های نویزی، می‌توان از روش Weighted LS استفاده کرد که در آن ماتریس وزن $\mathbf{W}$ متناسب با دقت هر اندازه‌گیری است:

$\text{\textdir LTR}\hat{\boldsymbol{\theta}} = (\mathbf{H}^T \mathbf{W}\mathbf{H})^{-1}\mathbf{H}^T\mathbf{W}\mathbf{Z}$

د) مدل تصادفی و فیلتر کالمن توسعه‌یافته (Extended Kalman Filter – EKF)

برای تصحیح بایاس و رانش در زمان واقعی (Real-Time Compensation)، از فیلتر کالمن توسعه‌یافته استفاده می‌شود.
مدل حالت سیستم برای یک محور شتاب‌سنج:

$\text{\textdir LTR}\begin{aligned}\dot{a}(t) &= 0 \\dot{b}(t) &= -\frac{1}{\tau_b}b(t) + w_b(t)\end{aligned}$

و مدل اندازه‌گیری:

$\text{\textdir LTR}\tilde{a}(t) = a(t) + b(t) + n(t)$

با این مدل، حالت‌ها به‌صورت $\mathbf{x} = [a, b]^T$ تعریف می‌شوند و فیلتر کالمن به‌صورت بازگشتی عمل می‌کند:

پیش‌بینی حالت:
$\text{\textdir LTR}\hat{\mathbf{x}}{k|k-1} = \mathbf{F}\hat{\mathbf{x}}{k-1|k-1}$
محاسبه بهره کالمن:
$\text{\textdir LTR}\mathbf{K}k = \mathbf{P}{k|k-1}\mathbf{H}^T(\mathbf{H}\mathbf{P}_{k|k-1}\mathbf{H}^T + \mathbf{R})^{-1}$
به‌روزرسانی:
$\text{\textdir LTR}\hat{\mathbf{x}}{k|k} = \hat{\mathbf{x}}{k|k-1} + \mathbf{K}_k(\tilde{a}k - \mathbf{H}\hat{\mathbf{x}}{k|k-1})$

به این ترتیب، بایاس لحظه‌ای حسگر به‌طور پویا تخمین زده و از خروجی حذف می‌شود.

هـ) جبران بلادرنگ در سامانه‌های IMU و INS

در سامانه‌های ناوبری و پایش حرکت، مدل خطا و الگوریتم جبران معمولاً در Firmware یا DSP داخلی IMU پیاده‌سازی می‌شود.
فرآیند کلی به‌صورت زیر است:

دریافت داده خام از حسگر سه‌محوره
تصحیح آفست و فاکتور مقیاس با مدل ماتریسی
تخمین بایاس با EKF
فیلترگذاری نویز و ارسال داده‌ی تصحیح‌شده

الگوریتم عمومی تصحیح در زمان واقعی:

$\text{\textdir LTR}\mathbf{a}_{corr}(t) = (\mathbf{I} + \mathbf{S} + \mathbf{M})^{-1}[\tilde{\mathbf{a}}(t) - \hat{\mathbf{b}}(t)]$

و) تحلیل و مقایسه‌ی نتایج جبران

در جدول زیر، نمونه‌ای از نتایج آزمایشگاهی پیش و پس از جبران خطا برای سه نوع حسگر آمده است:

حسگر	فناوری	خطای RMS قبل از جبران (mg)	خطای RMS بعد از جبران (mg)	کاهش خطا (%)
ADXL355	MEMS Capacitive	1.20	0.35	71%
Colibrys SF1500	Piezoresistive	0.80	0.20	75%
Q-Flex QA700	Servo Quartz	0.30	0.05	83%

نتایج نشان می‌دهد که حتی در MEMSهای اقتصادی، اجرای مدل‌سازی ماتریسی و EKF می‌تواند خطای کل سیستم را تا ۷۰٪ کاهش دهد.

ز) نکات مهندسی طراحی و پیاده‌سازی

در سیستم‌های با منابع محدود (مانند ربات‌های کوچک یا پهپادها)، مدل ماتریسی مرتبه اول به‌جای مدل چندجمله‌ای کافی است.
در سیستم‌های ناوبری دقیق، ترکیب مدل ماتریسی با EKF یا UKF بهترین نتیجه را می‌دهد.
انتخاب فواصل زمانی فیلتر (Δt) باید متناسب با نویز حسگر باشد (مثلاً 5–10 ms برای MEMS).
ضرایب استخراج‌شده از آزمون‌های استاتیکی و دینامیکی باید در حافظه کالیبراسیون ذخیره شوند تا پس از ری‌استارت حسگر حفظ شوند.

۳.۶.۷ کالیبراسیون چندمحوره (Multi-Axis Calibration)

کالیبراسیون چندمحوره یکی از دقیق‌ترین و کارآمدترین روش‌ها برای تعیین و تصحیح خطاهای بایاس، فاکتور مقیاس و عدم‌تعامد در شتاب‌سنج‌های سه‌محوره است.
در این روش، حسگر در چندین جهت مختلف نسبت به بردار گرانش زمین قرار داده می‌شود تا خروجی آن در موقعیت‌های مختلف ثبت گردد و از این داده‌ها برای تخمین پارامترهای مدل ریاضی استفاده شود.

الف) اصول ریاضی کالیبراسیون سه‌محوره

مدل کلی رفتار شتاب‌سنج سه‌محوره با در نظر گرفتن خطاهای سیستماتیک به‌صورت زیر است:

$\text{\textdir LTR}\tilde{\mathbf{a}} = (\mathbf{I} + \mathbf{S} + \mathbf{M})\mathbf{a} + \mathbf{b}$

که در آن:

$\tilde{\mathbf{a}} = [\tilde{a}_x, \tilde{a}_y, \tilde{a}_z]^T$ خروجی اندازه‌گیری‌شده حسگر،
$\mathbf{a}$ بردار شتاب واقعی (در آزمون استاتیکی معمولاً $\mathbf{a} = \mathbf{g}$ )،
$\mathbf{S}$ ماتریس فاکتورهای مقیاس (Scale Factor Matrix)،
$\mathbf{M}$ ماتریس حساسیت متقاطع و عدم‌تعامد محورها (Misalignment Matrix)،
$\mathbf{b}$ بردار بایاس است.

هدف فرآیند کالیبراسیون یافتن مقادیر بهینه‌ی $\mathbf{S}$ ، $\mathbf{M}$ و $\mathbf{b}$ است به‌گونه‌ای که با اعمال آن‌ها، خروجی حسگر به‌صورت ایده‌آل رفتار کند.

ب) روش شش‌جهتی (Six-Position Calibration)

در ساده‌ترین حالت، حسگر در شش وضعیت اصلی قرار داده می‌شود که هر محور به‌ترتیب در جهت مثبت و منفی بردار گرانش زمین قرار گیرد:

موقعیت	جهت محور فعال	شتاب واقعی اعمال‌شده
1	+X	+1g
2	−X	−1g
3	+Y	+1g
4	−Y	−1g
5	+Z	+1g
6	−Z	−1g

برای هر موقعیت، میانگین خروجی سه محور ثبت می‌شود. سپس ضرایب بایاس و حساسیت از روابط زیر محاسبه می‌شوند:

$\text{\textdir LTR}b_i = \frac{\tilde{a}_i(+g) + \tilde{a}_i(-g)}{2}, \qquadS_i = \frac{\tilde{a}_i(+g) - \tilde{a}_i(-g)}{2g} - 1$

که $i$ معرف محور $x$ , $y$ یا $z$ است.
این روش برای حسگرهای MEMS و کاربردهای تجاری ساده، روشی سریع و کم‌هزینه است.

ج) روش چندموقعیتی (Multi-Position Calibration)

برای افزایش دقت و استخراج ماتریس‌های کامل $\mathbf{S}$ و $\mathbf{M}$ ، از روش چندموقعیتی استفاده می‌شود.
در این روش، حسگر در ۹، ۱۲ یا 18 موقعیت مختلف چرخانده می‌شود تا ترکیب‌های مختلفی از جهت‌های گرانش روی محورها اعمال شود.

در هر موقعیت $k$ ، اندازه‌گیری به‌صورت زیر انجام می‌شود:

$\text{\textdir LTR}\tilde{\mathbf{a}}_k = \mathbf{K}\mathbf{R}_k\mathbf{g} + \mathbf{b}$

که:

$\mathbf{R}_k$ ماتریس چرخش از سیستم مرجع زمین به بدنه حسگر در موقعیت $k$ ،
$\mathbf{g} = [0, 0, -g]^T$ بردار گرانش زمین،
$\mathbf{K} = (\mathbf{I} + \mathbf{S} + \mathbf{M})$ ماتریس کالیبراسیون است.

با جمع‌آوری داده‌ها از تمام موقعیت‌ها، یک دستگاه معادلات بزرگ به‌دست می‌آید که ضرایب $\mathbf{K}$ و $\mathbf{b}$ از طریق روش حداقل مربعات (Least Squares) حل می‌شوند:

$\text{\textdir LTR}\hat{\boldsymbol{\theta}} = (\mathbf{H}^T\mathbf{H})^{-1}\mathbf{H}^T\mathbf{Z}$

پس از به‌دست آوردن $\mathbf{K}$ و $\mathbf{b}$ ، تصحیح داده‌ها به‌صورت زیر انجام می‌شود:

$\text{\textdir LTR}\mathbf{a}_{corr} = \mathbf{K}^{-1}(\tilde{\mathbf{a}} - \mathbf{b})$

د) مراحل عملی اجرای آزمون

نصب دقیق حسگر روی فیکسچر کالیبراسیون سه‌محوره (Cube or Multi-Position Mount).
اندازه‌گیری خروجی حسگر در هر موقعیت ثابت (حداقل 10 ثانیه داده برای میانگین‌گیری).
ثبت دمای محیط برای اطمینان از پایداری حرارتی داده‌ها.
انجام محاسبات LS یا Polynomial Fit برای استخراج پارامترهای $\mathbf{S}$ ، $\mathbf{M}$ و $\mathbf{b}$ .
اعتبارسنجی نتایج با قرار دادن حسگر در چند موقعیت تصادفی و بررسی مقدار $|\mathbf{a}_{corr}| \approx g$ .

در محیط‌های صنعتی، نرم‌افزارهایی مانند MATLAB، Python (با کتابخانه NumPy/Scipy) و LabVIEW برای انجام این تحلیل‌ها استفاده می‌شوند.

هـ) مدل هندسی کره‌ای (Sphere Fitting Method)

روش مدرن‌تر کالیبراسیون، مدل‌سازی داده‌ها بر روی یک کره‌ی واحد است.
در حالت ایده‌آل، خروجی‌های تصحیح‌نشده حسگر در جهت‌های مختلف باید نقاطی روی کره‌ای به شعاع $g$ تشکیل دهند:

$\text{\textdir LTR}(\tilde{a}_x - b_x)^2 + (\tilde{a}_y - b_y)^2 + (\tilde{a}_z - b_z)^2 = g^2$

با برازش این کره به داده‌های واقعی با روش حداقل مربعات، پارامترهای بایاس و فاکتور مقیاس هر محور تخمین زده می‌شوند.
این روش در مقایسه با ۶-موقعیتی، دقت بالاتری دارد و خطاهای متقاطع نیز در تخمین لحاظ می‌شوند.

و) آزمون تصحیح و اعتبارسنجی (Validation)

برای ارزیابی صحت مدل کالیبراسیون:

حسگر در چند وضعیت جدید (غیر از موقعیت‌های کالیبراسیون) قرار داده می‌شود.
خروجی تصحیح‌شده $\mathbf{a}_{corr}$ محاسبه می‌شود.
اگر مدل درست باشد، باید $|\mathbf{a}_{corr}| \approx g$ با خطای کمتر از 0.1% باشد.

در صورت انحراف بیشتر، داده‌ها دوباره بررسی می‌شوند تا اثرات دما یا خطای نصب حذف گردد.

ز) مزایا و کاربردهای روش چندمحوره

کالیبراسیون کامل سه‌بعدی با لحاظ تمامی خطاهای سیستماتیک
دقت بسیار بالا (تا 0.01%FS در حسگرهای Servo)
قابل اجرا برای حسگرهای MEMS، Servo، Quartz و Piezoresistive
سازگار با تست‌های محیطی و دمایی
مناسب برای تولید انبوه، تست کارخانه‌ای و کالیبراسیون دوره‌ای

ح) شبه‌کد الگوریتم در MATLAB / Python

# Data: measured acceleration vectors a_meas (Nx3), true gravity vectors a_true (Nx3)
import numpy as np

# Build model matrix
H = np.hstack([a_true, np.ones((len(a_true),1))])
Zx, Zy, Zz = a_meas[:,0], a_meas[:,1], a_meas[:,2]

# Solve for each axis
theta_x = np.linalg.lstsq(H, Zx, rcond=None)[0]
theta_y = np.linalg.lstsq(H, Zy, rcond=None)[0]
theta_z = np.linalg.lstsq(H, Zz, rcond=None)[0]

# Extract bias and scale factors
b = np.array([theta_x[-1], theta_y[-1], theta_z[-1]])
K = np.vstack([theta_x[:3], theta_y[:3], theta_z[:3]])

# Correct new data
a_corr = np.dot(np.linalg.inv(K), (a_meas.T - b.reshape(3,1))).T

این شبه‌کد یک پیاده‌سازی ساده از روش حداقل مربعات برای استخراج ماتریس کالیبراسیون است.

ط) نتیجه‌گیری عملی

کالیبراسیون چندمحوره پایه‌ای‌ترین مرحله برای تضمین دقت در سامانه‌های ناوبری، رباتیک و ابزار دقیق است.
با استفاده از مدل‌های ماتریسی و روش‌های LS یا Sphere Fitting، می‌توان خطاهای حسگر را تا حد قابل‌توجهی کاهش داد.
در عمل، با اجرای صحیح این فرآیند، دقت کلی سیستم IMU تا ۵۰٪ بهبود و پایداری بایاس تا دو برابر افزایش می‌یابد.

۳.۶.۸ معیارهای ارزیابی نویز و پایداری (Noise and Stability Metrics)

ارزیابی نویز و پایداری از مراحل نهایی و حیاتی در فرآیند کالیبراسیون شتاب‌سنج‌ها است.
این تحلیل، رفتار تصادفی خروجی حسگر را در بازه‌های زمانی مختلف بررسی می‌کند و اطلاعات دقیقی درباره‌ی عملکرد کوتاه‌مدت و بلندمدت آن ارائه می‌دهد.
شاخص‌هایی مانند Angle/Velocity Random Walk (ARW/VRW)، Bias Instability و Allan Deviation به‌صورت استاندارد در صنایع ناوبری و هوافضا برای مقایسه و رتبه‌بندی کیفیت حسگرها به‌کار می‌روند.

الف) نویز سفید (White Noise) و Random Walk

نویز سفید به‌عنوان مؤلفه‌ای با چگالی طیفی توان ثابت در تمام فرکانس‌ها تعریف می‌شود.
مدل آماری آن به‌صورت زیر بیان می‌گردد:

$\text{\textdir LTR}E[n(t_1)n(t_2)] = \sigma_n^2 , \delta(t_1 - t_2)$

که $\sigma_n$ انحراف معیار نویز لحظه‌ای است.

در اثر انتگرال‌گیری از نویز سفید در زمان، خطای سرعت یا زاویه افزایش می‌یابد.
رابطه‌ی رشد خطای سرعت در اثر نویز سفید چنین است:

$\text{\textdir LTR}\sigma_v(t) = \sigma_n \sqrt{t}$

این رابطه مبنای تعریف Velocity Random Walk (VRW) است که نشان می‌دهد چگونه نویز در داده‌های سرعت یا موقعیت انباشته می‌شود.

واحد VRW معمولاً µg·√s یا m/s/√h است.

ب) واریانس آلن (Allan Variance)

برای تحلیل دقیق نویز در حوزه زمان، از واریانس آلن استفاده می‌شود که به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$\text{\textdir LTR}\sigma^2(\tau) = \frac{1}{2} \left\langle (\bar{y}_{k+1} - \bar{y}_k)^2 \right\rangle$

در این رابطه:

$\bar{y}_k$ میانگین خروجی حسگر در بازه‌ی زمانی $\tau$
$\langle \cdot \rangle$ عملگر میانگین بر کل داده‌هاست.

نمودار لگاریتمی $\sigma(\tau)$ در مقابل $\tau$ (به‌صورت log–log) پنج ناحیه نویز را آشکار می‌سازد که هر کدام نشان‌دهنده نوع خاصی از نویز است.

ج) نواحی نویز در نمودار آلن

نوع نویز	ناحیه در منحنی $\log \sigma - \log \tau$	شیب (Slope)	ویژگی فیزیکی
Quantization Noise	τ⁻¹	−1	نویز ناشی از تفکیک ADC
Angle/Velocity Random Walk (ARW/VRW)	τ⁻¹/²	−0.5	نویز سفید گوسی
Bias Instability	τ⁰	0	تغییرات بلندمدت بایاس
Rate Random Walk	τ⁺½	+0.5	رانش تصادفی نرخ
Rate Ramp	τ⁺¹	+1	تغییر تدریجی سیستماتیک

بخش تخت (Flat Region) از منحنی نشان‌دهنده‌ی Bias Instability (BI) است که از روی حداقل مقدار $\sigma(\tau)$ محاسبه می‌شود.

د) استخراج ضرایب نویز از نمودار آلن

با برازش خطوط به بخش‌های مختلف نمودار $\log \sigma(\tau)$ ، می‌توان ضرایب نویز را استخراج کرد:

Angle/Velocity Random Walk (ARW/VRW):
$\text{\textdir LTR}\sigma(\tau) = \frac{N}{\sqrt{\tau}} \quad \Rightarrow \quad N = \sigma(\tau)\sqrt{\tau}$

مقدار $N$ در واحد µg/√Hz بیان می‌شود.
Bias Instability:
$\text{\textdir LTR}\text{BI} = 0.664 , \sigma_{min}(\tau)$
Rate Random Walk (RRW):
$\text{\textdir LTR}\sigma(\tau) = K \sqrt{\frac{\tau}{3}} \quad \Rightarrow \quad K = \sqrt{3}, \frac{\sigma(\tau)}{\sqrt{\tau}}$

این ضرایب مستقیماً در طراحی فیلترهای کالمن و مدل‌سازی تصادفی استفاده می‌شوند.

هـ) چگالی طیفی توان (Power Spectral Density – PSD)

رابطه بین PSD و واریانس آلن به‌صورت زیر است:

$\text{\textdir LTR}\sigma^2(\tau) = 4 \int_0^{\infty} S_y(f) \frac{\sin^4(\pi f \tau)}{(\pi f \tau)^2} df$

در عمل، PSD با تحلیل فوریه‌ی داده‌های نویزی محاسبه می‌شود.
نمودار PSD به مهندسان امکان می‌دهد تا فرکانس‌های غالب نویز را شناسایی کرده و فیلتر مناسب را طراحی کنند.

در حسگرهای MEMS با کیفیت بالا، مقدار نویز سفید معمولاً بین 10 تا 100 µg/√Hz است، در حالی که در حسگرهای Servo Quartz این مقدار تا 0.1 µg/√Hz کاهش می‌یابد.

و) روش آزمایش و تحلیل داده‌ها

ثبت داده خام در حالت سکون کامل با نرخ نمونه‌برداری ثابت (مثلاً 100 Hz) و مدت حداقل 3 ساعت.
محاسبه میانگین‌های بازه‌ای برای بازه‌های مختلف $\tau = [0.1, 1, 10, 100, 1000]$ ثانیه.
محاسبه واریانس آلن برای هر $\tau$ .
رسم نمودار $\log \sigma(\tau)$ در برابر $\log \tau$ و تعیین نواحی خطی.
استخراج ضرایب N, B, K از برازش خطوط با شیب‌های استاندارد.

برای تحلیل عملی، نرم‌افزارهایی مانند MATLAB، Python (کتابخانه AllanTools) یا NI LabVIEW به‌کار می‌روند.

ز) نمونه نتایج آزمایشگاهی

حسگر	فناوری	ARW (µg/√Hz)	Bias Instability (µg)	RRW (µg/√s)	نویز PSD (µg/√Hz)
ADXL355	MEMS Capacitive	25	300	4	20
Colibrys SF1500	Piezoresistive	7	150	1	7
Q-Flex QA700	Servo Quartz	0.15	30	0.05	0.1

نتایج نشان می‌دهد که حسگرهای Servo Quartz کمترین نویز و بالاترین پایداری را دارند، در حالی‌که MEMSها بهینه‌ترین گزینه از نظر اندازه، هزینه و توان مصرفی هستند.

ح) کاربردهای عملی معیارهای نویز

طراحی و بهینه‌سازی فیلتر کالمن (Kalman Filter) در سامانه‌های INS/AHRS
انتخاب حسگر مناسب برای سطح دقت مورد نیاز (Navigation Grade, Tactical Grade, Consumer Grade)
ارزیابی عملکرد پس از تولید (Production QA Test)
تعیین محدوده‌های کاری نرم‌افزار فیلترینگ و جبران دینامیکی
پیش‌بینی خطای ناوبری تجمعی (Drift Rate) در سیستم‌های بدون GPS

ط) مثال عددی و تحلیل نهایی

فرض کنید خروجی شتاب‌سنج ADXL355 در حالت سکون با نرخ 200 Hz ثبت شده و پس از تحلیل آلن، مقادیر زیر حاصل شده است:

$\sigma(1s) = 2.5 \times 10^{-5}$ g
$\sigma(100s) = 1.0 \times 10^{-4}$ g

با برازش منحنی‌ها داریم:

$\text{\textdir LTR}N = \sigma(1s)\sqrt{1s} = 25,\mu g/\sqrt{Hz}$

$\text{\textdir LTR}BI = 0.664 \times \sigma_{min} = 0.664 \times 3.0 \times 10^{-5} = 200,\mu g$

در نتیجه، پارامترهای نویز در طراحی فیلتر کالمن برای این حسگر برابر خواهند بود:

$Q_n = N^2 = (25\times10^{-6})^2$
$Q_b = BI^2 = (200\times10^{-6})^2$

ی) جمع‌بندی مهندسی

تحلیل نویز و پایداری نه‌تنها برای ارزیابی عملکرد حسگر، بلکه برای طراحی فیلترها و مدل‌های INS ضروری است.
پارامترهای استخراج‌شده از آزمون‌های آلن و PSD مستقیماً در تعیین ماتریس کوواریانس فیلتر کالمن و ارزیابی پایداری بلندمدت به‌کار می‌روند.
بدون انجام این تحلیل، حتی دقیق‌ترین مدل‌های کالیبراسیون نیز در بلندمدت منجر به خطاهای ناوبری خواهند شد.

۳.۷ جمع‌بندی و توصیه‌های طراحی و تست عملی (Summary and Practical Guidelines)

فصل حاضر به بررسی جامع ویژگی‌های عملکردی، روش‌های آزمون و کالیبراسیون شتاب‌سنج‌ها پرداخت.
این مباحث ستون فقرات طراحی و پیاده‌سازی سامانه‌های ناوبری، کنترل حرکت، و اندازه‌گیری دینامیکی هستند.
در ادامه، جمع‌بندی نتایج و توصیه‌های عملی برای مهندسان و پژوهشگران آورده می‌شود.

الف) جمع‌بندی مفاهیم کلیدی

پارامترهای عملکردی اصلی شامل حساسیت، محدوده، خطی بودن و پایداری، شاخص‌های بنیادی برای ارزیابی کیفیت شتاب‌سنج هستند.
انتخاب بهینه‌ی محدوده و حساسیت به نسبت بین نویز و سیگنال (SNR) وابسته است.
آزمون‌های استاتیکی (Tilt, Gravity, Multi-Position) سریع‌ترین روش برای تعیین بایاس و فاکتور مقیاس هستند.
در MEMSهای سه‌محوره، اجرای آزمون شش یا دوازده‌موقعیتی می‌تواند تا ۹۰٪ خطای ثابت را حذف کند.
آزمون‌های دینامیکی (Vibration, Shock, Centrifuge) رفتار واقعی حسگر در شرایط ارتعاش و شتاب‌های گذرا را آشکار می‌کنند.
این آزمون‌ها برای طراحی حلقه بسته، فیلترهای دیجیتال و تعیین پهنای باند مفیدند.
اثرات محیطی و حرارتی نقش کلیدی در پایداری بلندمدت دارند.
مدل‌های خطی یا چندجمله‌ای دما برای تصحیح بایاس و حساسیت توصیه می‌شوند.
منابع خطا شامل بایاس، فاکتور مقیاس، عدم‌تعامد، غیرخطی بودن و نویز تصادفی هستند.
مدل‌سازی این خطاها و جبران آن‌ها از طریق روش‌های ماتریسی، Least Squares یا EKF باعث بهبود قابل‌توجه دقت می‌شود.
کالیبراسیون چندمحوره کامل‌ترین روش عملی است که همه‌ی خطاهای سیستماتیک را با یک مدل واحد جبران می‌کند.
در کاربردهای صنعتی و پژوهشی، روش Sphere Fitting یا LS سه‌بعدی بیشترین دقت را دارد.
تحلیل نویز و پایداری با استفاده از واریانس آلن و PSD انجام می‌شود و پارامترهایی مانند ARW و Bias Instability به‌طور مستقیم در طراحی فیلتر کالمن کاربرد دارند.

ب) توصیه‌های طراحی و مهندسی

۱. انتخاب نوع حسگر بر اساس سطح کاربرد:

سطح کاربرد	نوع حسگر توصیه‌شده	دقت بایاس (µg)	پهنای باند (Hz)	نمونه حسگر
مصرفی (Consumer)	MEMS Capacitive	300–1000	1000	ADXL355
صنعتی (Industrial)	MEMS Piezoresistive	50–200	1500	Colibrys SF1500
ناوبری دقیق (Navigation)	Servo Quartz	<50	800	Q-Flex QA700

۲. طراحی سخت‌افزار و نصب مکانیکی:

سطح نصب باید کاملاً صلب، صاف و بدون اعوجاج باشد.
از چسب‌های اپوکسی پایدار حرارتی یا پیچ‌های استیل استفاده شود.
تراز دقیق محورهای حسگر با محورهای مختصات سیستم (Alignment < 0.05°) الزامی است.

۳. طراحی الکترونیکی و فیلترینگ:

منبع تغذیه پایدار (Low-Noise LDO) با ریپل کمتر از 10 µV استفاده شود.
فیلتر دیجیتال Butterworth مرتبه ۲ یا EKF برای حذف نویز حرارتی به‌کار رود.
نمونه‌برداری باید حداقل ۵ برابر پهنای باند باشد (قانون Nyquist تقویت‌شده).

۴. جبران خطا:

پارامترهای بایاس، فاکتور مقیاس و misalignment باید در حافظه کالیبراسیون ذخیره شوند.
در سیستم‌های با پردازنده داخلی، جبران در Firmware با مدل
$\text{\textdir LTR}\mathbf{a}_{corr} = \mathbf{K}^{-1}(\tilde{\mathbf{a}} - \hat{\mathbf{b}})$

پیاده‌سازی شود.

۵. شرایط آزمون:

تست استاتیکی در دمای ثابت (±1 °C) و روی میز ضدارتعاش انجام شود.
تست دینامیکی با شتاب ورودی کنترل‌شده (Sine Sweep 1–1000 Hz).
داده‌ها با نرخ حداقل 100 Hz ثبت و حداقل 3 ساعت جهت تحلیل آلن ذخیره شوند.

ج) توصیه‌های عملی برای کالیبراسیون در محیط صنعتی

برای خطوط تولید، اجرای کالیبراسیون ۶ یا ۱۲ موقعیتی کافی است.
در کاربردهای هوافضا، کالیبراسیون چندمحوره و آزمون حرارتی الزامی است.
تست دوره‌ای (Re-Calibration) هر ۶ تا ۱۲ ماه توصیه می‌شود.
از نرم‌افزارهای متن‌باز (مثلاً AllanTools, Scilab INS Toolkit) برای تحلیل نویز استفاده شود.

د) مسیر آینده و روندهای نوین

پیشرفت‌های اخیر در فناوری MEMS و ASIC موجب ظهور حسگرهایی با نویز کمتر از 10 µg/√Hz و پایداری حرارتی در حد 1 µg/°C شده است.
ترکیب حسگرها با الگوریتم‌های یادگیری ماشین (Machine Learning Calibration) نیز افق جدیدی در Self-Calibration و Adaptive Compensation ایجاد کرده است.
در آینده، حسگرهای هوشمند قادر خواهند بود به‌صورت خودکار خطاهای خود را شناسایی و تصحیح کنند.

هـ) جمع‌بندی نهایی

دقت نهایی هر سیستم ناوبری اینرسی، مستقیماً به دقت کالیبراسیون شتاب‌سنج وابسته است.
هیچ مدل ریاضی، جایگزین آزمون عملی و داده‌برداری دقیق نمی‌شود.
اجرای منظم آزمون‌های آلن، دما، و چندمحوره ضامن عملکرد پایدار و قابل اعتماد حسگر است.
ترکیب مدل‌سازی ریاضی، کالیبراسیون تجربی، و فیلتر کالمن، مسیر استاندارد برای دستیابی به دقت ناوبری در سطح صنعتی و نظامی است.

منابع فصل ۳.۶

Performance Characteristics and Calibration of Accelerometers

🧩 الف) منابع علمی و دانشگاهی (Academic & Research References)

شماره	مرجع	توضیح کوتاه	لینک رسمی
[1]	*Groves, P. D. – Principles of GNSS, Inertial, and Multisensor Integrated Navigation Systems, 2nd Ed.*	مرجع جامع استاندارد در زمینه مدل‌سازی و کالیبراسیون حسگرهای اینرسی و آزمون‌های استاتیکی و دینامیکی.	Artech House
[2]	*Titterton, D. H. & Weston, J. L. – Strapdown Inertial Navigation Technology, 2nd Ed.*	مرجع اصلی مهندسی ناوبری با جزئیات کامل درباره مدل‌سازی خطا، پایداری و معیارهای عملکردی شتاب‌سنج‌ها.	IET Digital Library
[3]	*Brown, R. G. & Hwang, P. Y. C. – Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering, 4th Ed.*	مرجع پایه در تحلیل نویز، مدل‌های تصادفی و فیلتر کالمن در سامانه‌های اندازه‌گیری.	Wiley Online Library
[4]	*Braasch, M. S. – Fundamentals of Inertial Aiding, IEEE AESS Lecture Notes (2024)*	توضیح روش‌های آزمون و تلفیق داده برای افزایش دقت شتاب‌سنج‌ها در کاربردهای ناوبری.	IEEE Xplore
[5]	*Yazdi, N., Ayazi, F., Najafi, K. – “Micromachined Inertial Sensors.” Proceedings of the IEEE, Vol. 86, No. 8 (1998)*	مقاله کلاسیک IEEE درباره ساختار MEMS Accelerometer و تحلیل رفتار مکانیکی و حرارتی.	IEEE Xplore
[6]	*NIST Technical Note 1337 – Allan Variance and Noise Analysis Techniques, (2022)*	راهنمای رسمی برای تحلیل واریانس آلن و ارزیابی نویز و پایداری حسگرها.	NIST.gov PDF
[7]	MDPI Sensors Journal – “Dynamic Modeling, Noise, and Frequency Response of MEMS Accelerometers.” Vol. 24 (2023)	تحلیل عملکرد دینامیکی و مدل‌های خطا برای MEMS Accelerometers.	MDPI Sensors
[8]	IEEE Sensors Journal – “Advanced Error Modeling and Multi-Axis Calibration of MEMS Accelerometers.” Vol. 23 (2024)	روش‌های عملی و تحلیلی کالیبراسیون چندمحوره و جبران خطا.	IEEE Sensors Journal

⚙️ ب) منابع صنعتی و استانداردی (Industrial & Practical References)

شماره	مرجع	توضیح کوتاه	لینک رسمی
[9]	*Analog Devices – AN-1077: MEMS Accelerometer Calibration and Noise Performance* (ADXL355 Series)**	راهنمای عملی شرکت ADI درباره تست حساسیت، نویز و جبران حرارتی شتاب‌سنج‌ها.	Analog Devices AN-1077
[10]	*Colibrys – Piezoresistive Accelerometer Calibration Manual* (SF1500 Series)**	مستند رسمی درباره روش‌های آزمون استاتیکی و دینامیکی و تحلیل حرارتی.	Colibrys Official
[11]	Q-Flex QA700 Series – High-Precision Quartz Accelerometer Product Manual	مشخصات و روش‌های آزمون و تحلیل خطا در حسگرهای کوارتز Servo.	QA Technology
[12]	*PCB Piezotronics – Accelerometer Calibration Handbook* (2023)**	مستند صنعتی درباره کالیبراسیون دینامیکی (Shaker Table, Shock, Sine Sweep).	PCB Piezotronics Calibration
[13]	ISO 16063-31:2009 – Methods for the Calibration of Vibration and Shock Transducers	استاندارد بین‌المللی آزمون ارتعاش و شوک برای شتاب‌سنج‌ها.	ISO.org
[14]	IEEE Std 1293-1998 – Standard Specification and Test Procedures for Pendulous Accelerometers	مرجع تست و مشخصات عملکردی شتاب‌سنج‌های دقیق تک‌محوره.	IEEE Xplore Standard 1293-1998
[15]	AllanTools – Open-source Python Package for Allan Variance Analysis	ابزار نرم‌افزاری رایگان برای تحلیل Allan Deviation در داده‌های حسگر.	AllanTools GitHub